Gráfico de la función y = (e^x+e^-x)/(e^x-e^-x)

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        x    -x
       E  + E  
f(x) = --------
        x    -x
       E  - E

$$f{\left(x \right)} = \frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}}$$

f = (E^x + E^(-x))/(E^x - E^(-x))

Gráfico de la función

Dominio de definición de la función

Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (E^x + E^(-x))/(E^x - E^(-x)).
$$\frac{e^{0} + e^{- 0}}{- e^{- 0} + e^{0}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
signof no cruza Y

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(- e^{x} - e^{- x}\right) \left(e^{x} + e^{- x}\right)}{\left(e^{x} - e^{- x}\right)^{2}} + \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{\left(2 - \frac{2 \left(e^{x} + e^{- x}\right)^{2}}{\left(e^{x} - e^{- x}\right)^{2}}\right) \left(e^{x} + e^{- x}\right)}{e^{x} - e^{- x}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones

Asíntotas verticales

Hay:
$$x_{1} = 0$$

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (E^x + E^(-x))/(E^x - E^(-x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} + e^{- x}}{x \left(e^{x} - e^{- x}\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} + e^{- x}}{x \left(e^{x} - e^{- x}\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} = \frac{e^{x} + e^{- x}}{- e^{x} + e^{- x}}$$
- No
$$\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} = - \frac{e^{x} + e^{- x}}{- e^{x} + e^{- x}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Gráfico de la función y = (e^x+e^-x)/(e^x-e^-x)

Gráfico:

Puntos de intersección:

Definida a trozos:

Solución