Sr Examen

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Gráfico de la función y = x+(1-2*x)*log(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
f(x) = x + (1 - 2*x)*log(x)
$$f{\left(x \right)} = x + \left(1 - 2 x\right) \log{\left(x \right)}$$
f = x + (1 - 2*x)*log(x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x + \left(1 - 2 x\right) \log{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = 1.95727479351255$$
$$x_{2} = 0.341276204811594$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x + (1 - 2*x)*log(x).
$$\left(1 - 0\right) \log{\left(0 \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \log{\left(x \right)} + 1 + \frac{1 - 2 x}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{- \frac{1}{2} + W\left(\frac{e^{\frac{1}{2}}}{2}\right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
         / 1/2\  /              / 1/2\\                           / 1/2\ 
    1    |e   |  |         1    |e   ||                      1    |e   | 
  - - + W|----|  |       - - + W|----|| /       / 1/2\\    - - + W|----| 
    2    \ 2  /  |         2    \ 2  /| |  1    |e   ||      2    \ 2  / 
(e            , \1 - 2*e             /*|- - + W|----|| + e             )
                                        \  2    \ 2  //                  


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = e^{- \frac{1}{2} + W\left(\frac{e^{\frac{1}{2}}}{2}\right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{- \frac{1}{2} + W\left(\frac{e^{\frac{1}{2}}}{2}\right)}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[e^{- \frac{1}{2} + W\left(\frac{e^{\frac{1}{2}}}{2}\right)}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{-4 + \frac{2 x - 1}{x}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x + \left(1 - 2 x\right) \log{\left(x \right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + \left(1 - 2 x\right) \log{\left(x \right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x + (1 - 2*x)*log(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + \left(1 - 2 x\right) \log{\left(x \right)}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \left(1 - 2 x\right) \log{\left(x \right)}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x + \left(1 - 2 x\right) \log{\left(x \right)} = - x + \left(2 x + 1\right) \log{\left(- x \right)}$$
- No
$$x + \left(1 - 2 x\right) \log{\left(x \right)} = x - \left(2 x + 1\right) \log{\left(- x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar