Sr Examen

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Gráfico de la función y = x*log(x)+(1-x)*log(1-x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
f(x) = x*log(x) + (1 - x)*log(1 - x)
$$f{\left(x \right)} = x \log{\left(x \right)} + \left(1 - x\right) \log{\left(1 - x \right)}$$
f = x*log(x) + (1 - x)*log(1 - x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x \log{\left(x \right)} + \left(1 - x\right) \log{\left(1 - x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 1$$
$$x_{4} = 1$$
$$x_{5} = 1.00000000000003$$
$$x_{6} = 1.00000000000002$$
$$x_{7} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*log(x) + (1 - x)*log(1 - x).
$$0 \log{\left(0 \right)} + \left(1 - 0\right) \log{\left(1 - 0 \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\log{\left(x \right)} - \log{\left(1 - x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(1/2, -log(2))


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \log{\left(x \right)} + \left(1 - x\right) \log{\left(1 - x \right)}\right) = - \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(x \right)} + \left(1 - x\right) \log{\left(1 - x \right)}\right) = - \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*log(x) + (1 - x)*log(1 - x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \log{\left(x \right)} + \left(1 - x\right) \log{\left(1 - x \right)}}{x}\right) = i \pi$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = i \pi x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \log{\left(x \right)} + \left(1 - x\right) \log{\left(1 - x \right)}}{x}\right) = - i \pi$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - i \pi x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x \log{\left(x \right)} + \left(1 - x\right) \log{\left(1 - x \right)} = - x \log{\left(- x \right)} + \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}$$
- No
$$x \log{\left(x \right)} + \left(1 - x\right) \log{\left(1 - x \right)} = x \log{\left(- x \right)} - \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar