Sr Examen

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x^3-12x^2+36x

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • 5-x 5-x
  • (1-x^3)/x^2 (1-x^3)/x^2
  • x/(x^2-5) x/(x^2-5)
  • 3*x-x^3 3*x-x^3

  • Expresiones idénticas

  • x^ tres -1 dos x^2+36x
  • x al cubo menos 12x al cuadrado más 36x
  • x en el grado tres menos 1 dos x al cuadrado más 36x
  • x3-12x2+36x
  • x³-12x²+36x
  • x en el grado 3-12x en el grado 2+36x

  • Expresiones semejantes

  • x^3+12x^2+36x
  • x^3-12x^2-36x
Trazado el gráfico de la función/ x^3-12x^2+36x

Gráfico de la función y = x^3-12x^2+36x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3       2       
f(x) = x  - 12*x  + 36*x
f(x)=36x+(x3−12x2)f{\left(x \right)} = 36 x + \left(x^{3} - 12 x^{2}\right) 
f = 36*x + x^3 - 12*x^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-50002500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
36x+(x3−12x2)=036 x + \left(x^{3} - 12 x^{2}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=6x_{2} = 6
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=6x_{2} = 6
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3 - 12*x^2 + 36*x.
(03−12⋅02)+0⋅36\left(0^{3} - 12 \cdot 0^{2}\right) + 0 \cdot 36
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2−24x+36=03 x^{2} - 24 x + 36 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2x_{1} = 2
x2=6x_{2} = 6
Signos de extremos en los puntos:
(2, 32)

(6, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=6x_{1} = 6
Puntos máximos de la función:
x1=2x_{1} = 2
Decrece en los intervalos
(−∞,2]∪[6,∞)\left(-\infty, 2\right] \cup \left[6, \infty\right)
Crece en los intervalos
[2,6]\left[2, 6\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(x−4)=06 \left(x - 4\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=4x_{1} = 4

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[4,∞)\left[4, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,4]\left(-\infty, 4\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(36x+(x3−12x2))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(36 x + \left(x^{3} - 12 x^{2}\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(36x+(x3−12x2))=∞\lim_{x \to \infty}\left(36 x + \left(x^{3} - 12 x^{2}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 - 12*x^2 + 36*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(36x+(x3−12x2)x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{36 x + \left(x^{3} - 12 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(36x+(x3−12x2)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{36 x + \left(x^{3} - 12 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
36x+(x3−12x2)=−x3−12x2−36x36 x + \left(x^{3} - 12 x^{2}\right) = - x^{3} - 12 x^{2} - 36 x
- No
36x+(x3−12x2)=x3+12x2+36x36 x + \left(x^{3} - 12 x^{2}\right) = x^{3} + 12 x^{2} + 36 x
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x^3-12x^2+36x
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