Sr Examen

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y=x⁴-13x+36/((x-3)(x+2))
Trazado el gráfico de la función/ y=x⁴-13x+36/((x-3)(x+2))

Gráfico de la función y = y=x⁴-13x+36/((x-3)(x+2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        4                 36      
f(x) = x  - 13*x + ---------------
                   (x - 3)*(x + 2)
f(x)=(x4−13x)+36(x−3)(x+2)f{\left(x \right)} = \left(x^{4} - 13 x\right) + \frac{36}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} 
f = x^4 - 13*x + 36/(((x - 3)*(x + 2)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101020000-10000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−2x_{1} = -2
x2=3x_{2} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x4−13x)+36(x−3)(x+2)=0\left(x^{4} - 13 x\right) + \frac{36}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=CRootOf⁡(x6−x5−6x4−13x3+13x2+78x+36,0)x_{1} = \operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} - x^{5} - 6 x^{4} - 13 x^{3} + 13 x^{2} + 78 x + 36, 0\right)}
x2=CRootOf⁡(x6−x5−6x4−13x3+13x2+78x+36,1)x_{2} = \operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} - x^{5} - 6 x^{4} - 13 x^{3} + 13 x^{2} + 78 x + 36, 1\right)}
Solución numérica
x1=−0.527114815493552x_{1} = -0.527114815493552
x2=−1.77011205240973x_{2} = -1.77011205240973
x3=−0.527114815493552x_{3} = -0.527114815493552
x4=−1.77011205240972x_{4} = -1.77011205240972
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^4 - 13*x + 36/(((x - 3)*(x + 2))).
36(−1)2⋅3+(04−0)\frac{36}{\left(-1\right) 2 \cdot 3} + \left(0^{4} - 0\right)
Resultado:
f(0)=−6f{\left(0 \right)} = -6
Punto:
(0, -6)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4x3+36(1−2x)(x−3)2(x+2)2−13=04 x^{3} + \frac{36 \left(1 - 2 x\right)}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x + 2\right)^{2}} - 13 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2.33495557734408x_{1} = -2.33495557734408
x2=−1.47599248709319x_{2} = -1.47599248709319
x3=1.58936404775102x_{3} = 1.58936404775102
x4=2.66117190316099x_{4} = 2.66117190316099
x5=3.24145822374884x_{5} = 3.24145822374884
Signos de extremos en los puntos:
(-2.33495557734408, 80.2247160647761)

(-1.47599248709319, 8.58515628612821)

(1.58936404775102, -21.3906694300065)

(2.66117190316099, -7.23722452137108)

(3.24145822374884, 96.7043318788484)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2.33495557734408x_{1} = -2.33495557734408
x2=1.58936404775102x_{2} = 1.58936404775102
x3=3.24145822374884x_{3} = 3.24145822374884
Puntos máximos de la función:
x3=−1.47599248709319x_{3} = -1.47599248709319
x3=2.66117190316099x_{3} = 2.66117190316099
Decrece en los intervalos
[3.24145822374884,∞)\left[3.24145822374884, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−2.33495557734408]\left(-\infty, -2.33495557734408\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−2x_{1} = -2
x2=3x_{2} = 3
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x4−13x)+36(x−3)(x+2))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{4} - 13 x\right) + \frac{36}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x4−13x)+36(x−3)(x+2))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{4} - 13 x\right) + \frac{36}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4 - 13*x + 36/(((x - 3)*(x + 2))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x4−13x)+36(x−3)(x+2)x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 13 x\right) + \frac{36}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x4−13x)+36(x−3)(x+2)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 13 x\right) + \frac{36}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x4−13x)+36(x−3)(x+2)=x4+13x+36(2−x)(−x−3)\left(x^{4} - 13 x\right) + \frac{36}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} = x^{4} + 13 x + \frac{36}{\left(2 - x\right) \left(- x - 3\right)}
- No
(x4−13x)+36(x−3)(x+2)=−x4−13x−36(2−x)(−x−3)\left(x^{4} - 13 x\right) + \frac{36}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} = - x^{4} - 13 x - \frac{36}{\left(2 - x\right) \left(- x - 3\right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=x⁴-13x+36/((x-3)(x+2))
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