Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x^2+x)/(x-1)

Gráfico de la función y = (x^2+x)/(x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2    
       x  + x
f(x) = ------
       x - 1
f(x)=x2+xx−1f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} + x}{x - 1} 
f = (x^2 + x)/(x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2+xx−1=0\frac{x^{2} + x}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 + x)/(x - 1).
02−1\frac{0^{2}}{-1}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x+1x−1−x2+x(x−1)2=0\frac{2 x + 1}{x - 1} - \frac{x^{2} + x}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1−2x_{1} = 1 - \sqrt{2}
x2=1+2x_{2} = 1 + \sqrt{2}
Signos de extremos en los puntos:
                   /               2        \  
               ___ |    /      ___\      ___|  
       ___  -\/ 2 *\1 + \1 - \/ 2 /  - \/ 2 /  
(1 - \/ 2, ----------------------------------)
                            2                  

                  /                       2\ 
              ___ |      ___   /      ___\ | 
       ___  \/ 2 *\1 + \/ 2  + \1 + \/ 2 / / 
(1 + \/ 2, --------------------------------)
                           2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1+2x_{1} = 1 + \sqrt{2}
Puntos máximos de la función:
x1=1−2x_{1} = 1 - \sqrt{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,1−2]∪[1+2,∞)\left(-\infty, 1 - \sqrt{2}\right] \cup \left[1 + \sqrt{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[1−2,1+2]\left[1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(x(x+1)(x−1)2+1−2x+1x−1)x−1=0\frac{2 \left(\frac{x \left(x + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} + 1 - \frac{2 x + 1}{x - 1}\right)}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2+xx−1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + x}{x - 1}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2+xx−1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + x}{x - 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 + x)/(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2+xx(x−1))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + x}{x \left(x - 1\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞(x2+xx(x−1))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + x}{x \left(x - 1\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2+xx−1=x2−x−x−1\frac{x^{2} + x}{x - 1} = \frac{x^{2} - x}{- x - 1}
- No
x2+xx−1=−x2−x−x−1\frac{x^{2} + x}{x - 1} = - \frac{x^{2} - x}{- x - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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