Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 10*(1-(sqrt(x)))*(sqrt(x))

Gráfico de la función y = 10*(1-(sqrt(x)))*(sqrt(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /      ___\   ___
f(x) = 10*\1 - \/ x /*\/ x
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{x} 10 \left(1 - \sqrt{x}\right)$$ 
f = sqrt(x)*(10*(1 - sqrt(x)))
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{x} 10 \left(1 - \sqrt{x}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (10*(1 - sqrt(x)))*sqrt(x).
$$\sqrt{0} \cdot 10 \left(1 - \sqrt{0}\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$-5 + \frac{5 \left(1 - \sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
(1/4, 5/2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{4}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{4}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{4}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{5 \left(- \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{x} - 1}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x} 10 \left(1 - \sqrt{x}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} 10 \left(1 - \sqrt{x}\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (10*(1 - sqrt(x)))*sqrt(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{10 \left(1 - \sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}\right) = -10$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - 10 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10 \left(1 - \sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}\right) = -10$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - 10 x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{x} 10 \left(1 - \sqrt{x}\right) = \sqrt{- x} \left(10 - 10 \sqrt{- x}\right)$$
- No
$$\sqrt{x} 10 \left(1 - \sqrt{x}\right) = - \sqrt{- x} \left(10 - 10 \sqrt{- x}\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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