Sr Examen

Gráfico de la función y = ln(tgx)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
f(x) = log(tan(x))
f(x)=log(tan(x))f{\left(x \right)} = \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}
f = log(tan(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(tan(x)).
log(tan(0))\log{\left(\tan{\left(0 \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
tan2(x)+1tan(x)=0\frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(tan2(x)+1)2tan2(x)+2tan2(x)+2=0- \frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + 2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(,π4][π4,)\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[π4,π4]\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=limxlog(tan(x))y = \lim_{x \to -\infty} \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=limxlog(tan(x))y = \lim_{x \to \infty} \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(tan(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlimx(log(tan(x))x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlimx(log(tan(x))x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log(tan(x))=log(tan(x))\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(- \tan{\left(x \right)} \right)}
- No
log(tan(x))=log(tan(x))\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} = - \log{\left(- \tan{\left(x \right)} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar