Sr Examen

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log(log(x^2)^x)
Trazado el gráfico de la función/ log(log(x^2)^x)

Gráfico de la función y = log(log(x^2)^x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /   x/ 2\\
f(x) = log\log \x //
$$f{\left(x \right)} = \log{\left(\log{\left(x^{2} \right)}^{x} \right)}$$ 
f = log(log(x^2)^x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(log(x^2)^x).
$$\log{\left(\log{\left(0^{2} \right)}^{0} \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\log{\left(\log{\left(x^{2} \right)} \right)} + \frac{2}{\log{\left(x^{2} \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(1 - \frac{2}{\log{\left(x^{2} \right)}}\right)}{x \log{\left(x^{2} \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - e$$
$$x_{2} = e$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[e, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - e\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\log{\left(x^{2} \right)}^{x} \right)} = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(\log{\left(x^{2} \right)}^{x} \right)} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(log(x^2)^x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\log{\left(x^{2} \right)}^{x} \right)}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\log{\left(x^{2} \right)}^{x} \right)}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(\log{\left(x^{2} \right)}^{x} \right)} = \log{\left(\log{\left(x^{2} \right)}^{- x} \right)}$$
- No
$$\log{\left(\log{\left(x^{2} \right)}^{x} \right)} = - \log{\left(\log{\left(x^{2} \right)}^{- x} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = log(log(x^2)^x)
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