Sr Examen

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(x^3+2)/x
Trazado el gráfico de la función/ (x^3+2)/x

Gráfico de la función y = (x^3+2)/x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3    
       x  + 2
f(x) = ------
         x
f(x)=x3+2xf{\left(x \right)} = \frac{x^{3} + 2}{x} 
f = (x^3 + 2)/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200200
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x3+2x=0\frac{x^{3} + 2}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−23x_{1} = - \sqrt[3]{2}
Solución numérica
x1=−1.25992104989487x_{1} = -1.25992104989487
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^3 + 2)/x.
03+20\frac{0^{3} + 2}{0}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x−x3+2x2=03 x - \frac{x^{3} + 2}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(1, 3)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1x_{1} = 1
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(x3+2)x3=0\frac{2 \left(x^{3} + 2\right)}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−23x_{1} = - \sqrt[3]{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(2(x3+2)x3)=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(x^{3} + 2\right)}{x^{3}}\right) = -\infty
lim⁡x→0+(2(x3+2)x3)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(x^{3} + 2\right)}{x^{3}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−23]\left(-\infty, - \sqrt[3]{2}\right]
Convexa en los intervalos
[−23,∞)\left[- \sqrt[3]{2}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x3+2x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 2}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x3+2x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 2}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^3 + 2)/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x3+2x2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 2}{x^{2}}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(x3+2x2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 2}{x^{2}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x3+2x=−2−x3x\frac{x^{3} + 2}{x} = - \frac{2 - x^{3}}{x}
- No
x3+2x=2−x3x\frac{x^{3} + 2}{x} = \frac{2 - x^{3}}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x^3+2)/x
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