Sr Examen

Otras calculadoras

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • 4*x-x^2 4*x-x^2
  • 2*x^3-15*x^2+36*x-32 2*x^3-15*x^2+36*x-32
  • (x+4)/e^(x+4) (x+4)/e^(x+4)
  • x^3+4*x x^3+4*x
  • Integral de d{x}:
  • x^3/(e^x-1)

  • Expresiones idénticas

  • x^ tres /(e^x- uno)
  • x al cubo dividir por (e en el grado x menos 1)
  • x en el grado tres dividir por (e en el grado x menos uno)
  • x3/(ex-1)
  • x3/ex-1
  • x³/(e^x-1)
  • x en el grado 3/(e en el grado x-1)
  • x^3/e^x-1
  • x^3 dividir por (e^x-1)

  • Expresiones semejantes

  • x^3/(e^x+1)
Trazado el gráfico de la función/ x^3/(e^x-1)

Gráfico de la función y = x^3/(e^x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          3  
         x   
f(x) = ------
        x    
       E  - 1
f(x)=x3ex−1f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{e^{x} - 1} 
f = x^3/(E^x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101001000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x3ex−1=0\frac{x^{3}}{e^{x} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=76.2147268831127x_{1} = 76.2147268831127
x2=50.9886343393575x_{2} = 50.9886343393575
x3=103.889443728221x_{3} = 103.889443728221
x4=64.4686693421837x_{4} = 64.4686693421837
x5=97.9406256913241x_{5} = 97.9406256913241
x6=91.9998011210345x_{6} = 91.9998011210345
x7=68.3711434889037x_{7} = 68.3711434889037
x8=109.844736107553x_{8} = 109.844736107553
x9=113.817945104066x_{9} = 113.817945104066
x10=60.583728892351x_{10} = 60.583728892351
x11=74.2498293547747x_{11} = 74.2498293547747
x12=107.858996843108x_{12} = 107.858996843108
x13=39.9621396083304x_{13} = 39.9621396083304
x14=66.4179766096377x_{14} = 66.4179766096377
x15=101.905718658495x_{15} = 101.905718658495
x16=95.9593746156686x_{16} = 95.9593746156686
x17=54.8012720585184x_{17} = 54.8012720585184
x18=88.0446699300268x_{18} = 88.0446699300268
x19=43.5363647613284x_{19} = 43.5363647613284
x20=84.0947578295009x_{20} = 84.0947578295009
x21=117.793236913112x_{21} = 117.793236913112
x22=70.3277433163808x_{22} = 70.3277433163808
x23=82.1220528473812x_{23} = 82.1220528473812
x24=78.181864782784x_{24} = 78.181864782784
x25=90.0216356011828x_{25} = 90.0216356011828
x26=119.7815893439x_{26} = 119.7815893439
x27=86.0690060516037x_{27} = 86.0690060516037
x28=111.831064115115x_{28} = 111.831064115115
x29=45.3699033595013x_{29} = 45.3699033595013
x30=115.805346154896x_{30} = 115.805346154896
x31=41.7310513497591x_{31} = 41.7310513497591
x32=105.873885239726x_{32} = 105.873885239726
x33=52.8897741765515x_{33} = 52.8897741765515
x34=58.6493938015257x_{34} = 58.6493938015257
x35=121.770377514453x_{35} = 121.770377514453
x36=56.7215653754984x_{36} = 56.7215653754984
x37=80.1510345473422x_{37} = 80.1510345473422
x38=93.9790749415684x_{38} = 93.9790749415684
x39=72.2874103791773x_{39} = 72.2874103791773
x40=49.0998156927244x_{40} = 49.0998156927244
x41=99.9227607635738x_{41} = 99.9227607635738
x42=47.2258221025428x_{42} = 47.2258221025428
x43=62.5237226565755x_{43} = 62.5237226565755
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3/(E^x - 1).
03−1+e0\frac{0^{3}}{-1 + e^{0}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x3ex(ex−1)2+3x2ex−1=0- \frac{x^{3} e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{e^{x} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=W(−3e3)+3x_{1} = W\left(- \frac{3}{e^{3}}\right) + 3
Signos de extremos en los puntos:
                                 3  
                  /     /    -3\\   
      /    -3\    \3 + W\-3*e  //   
(3 + W\-3*e  /, -------------------)
                           /    -3\ 
                      3 + W\-3*e  / 
                -1 + e


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=W(−3e3)+3x_{1} = W\left(- \frac{3}{e^{3}}\right) + 3
Decrece en los intervalos
(−∞,W(−3e3)+3]\left(-\infty, W\left(- \frac{3}{e^{3}}\right) + 3\right]
Crece en los intervalos
[W(−3e3)+3,∞)\left[W\left(- \frac{3}{e^{3}}\right) + 3, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x(−x2(1−2exex−1)exex−1−6xexex−1+6)ex−1=0\frac{x \left(- \frac{x^{2} \left(1 - \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 1}\right) e^{x}}{e^{x} - 1} - \frac{6 x e^{x}}{e^{x} - 1} + 6\right)}{e^{x} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=117.805587591537x_{1} = 117.805587591537
x2=40.8277982241617x_{2} = 40.8277982241617
x3=105.889796565181x_{3} = 105.889796565181
x4=51.107121623945x_{4} = 51.107121623945
x5=80.1828629642415x_{5} = 80.1828629642415
x6=40.2748270908332x_{6} = 40.2748270908332
x7=113.831336651302x_{7} = 113.831336651302
x8=60.6525895654691x_{8} = 60.6525895654691
x9=101.923165836071x_{9} = 101.923165836071
x10=107.874215312246x_{10} = 107.874215312246
x11=62.5865075577085x_{11} = 62.5865075577085
x12=56.8055953520444x_{12} = 56.8055953520444
x13=99.9410607947729x_{13} = 99.9410607947729
x14=70.3728289477988x_{14} = 70.3728289477988
x15=86.0955163735954x_{15} = 86.0955163735954
x16=121.78180424635x_{16} = 121.78180424635
x17=52.9946995930489x_{17} = 52.9946995930489
x18=92.0222257018945x_{18} = 92.0222257018945
x19=84.1228817430259x_{19} = 84.1228817430259
x20=0.966267739493919x_{20} = 0.966267739493919
x21=64.5261544453703x_{21} = 64.5261544453703
x22=74.2887617127108x_{22} = 74.2887617127108
x23=68.4198714734272x_{23} = 68.4198714734272
x24=115.818201461407x_{24} = 115.818201461407
x25=119.793464567005x_{25} = 119.793464567005
x26=88.0697020176021x_{26} = 88.0697020176021
x27=62.4487240152167x_{27} = 62.4487240152167
x28=95.9795796685177x_{28} = 95.9795796685177
x29=94.0003463048168x_{29} = 94.0003463048168
x30=78.2158273210112x_{30} = 78.2158273210112
x31=41.9862433964437x_{31} = 41.9862433964437
x32=58.7252674670052x_{32} = 58.7252674670052
x33=38.6357440999074x_{33} = 38.6357440999074
x34=54.8948687562614x_{34} = 54.8948687562614
x35=72.3292493345526x_{35} = 72.3292493345526
x36=47.3809695076088x_{36} = 47.3809695076088
x37=76.2510466078302x_{37} = 76.2510466078302
x38=111.845026216526x_{38} = 111.845026216526
x39=103.90609640863x_{39} = 103.90609640863
x40=49.2347425344452x_{40} = 49.2347425344452
x41=43.7491520314742x_{41} = 43.7491520314742
x42=66.4708101699993x_{42} = 66.4708101699993
x43=90.0453100425237x_{43} = 90.0453100425237
x44=4.62324708850268x_{44} = 4.62324708850268
x45=109.859306072625x_{45} = 109.859306072625
x46=45.5503553461559x_{46} = 45.5503553461559
x47=82.1519428206282x_{47} = 82.1519428206282
x48=97.9598428040105x_{48} = 97.9598428040105
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(x(−x2(1−2exex−1)exex−1−6xexex−1+6)ex−1)=2\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x \left(- \frac{x^{2} \left(1 - \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 1}\right) e^{x}}{e^{x} - 1} - \frac{6 x e^{x}}{e^{x} - 1} + 6\right)}{e^{x} - 1}\right) = 2
lim⁡x→0+(x(−x2(1−2exex−1)exex−1−6xexex−1+6)ex−1)=2\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \left(- \frac{x^{2} \left(1 - \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 1}\right) e^{x}}{e^{x} - 1} - \frac{6 x e^{x}}{e^{x} - 1} + 6\right)}{e^{x} - 1}\right) = 2
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0.966267739493919]∪[4.62324708850268,∞)\left(-\infty, 0.966267739493919\right] \cup \left[4.62324708850268, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[0.966267739493919,4.62324708850268]\left[0.966267739493919, 4.62324708850268\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x3ex−1)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{e^{x} - 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x3ex−1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{e^{x} - 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3/(E^x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2ex−1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{e^{x} - 1}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(x2ex−1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{e^{x} - 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x3ex−1=−x3−1+e−x\frac{x^{3}}{e^{x} - 1} = - \frac{x^{3}}{-1 + e^{- x}}
- No
x3ex−1=x3−1+e−x\frac{x^{3}}{e^{x} - 1} = \frac{x^{3}}{-1 + e^{- x}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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