Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x-8/x^4
-
y=x²-2x-8
-
-x^4+x^2
-
x*e^(-x^1)
- Integral de d{x}:
- x^3/(e^x-1)
-
Expresiones idénticas
- x^ tres /(e^x- uno)
- x al cubo dividir por (e en el grado x menos 1)
- x en el grado tres dividir por (e en el grado x menos uno)
- x3/(ex-1)
- x3/ex-1
- x³/(e^x-1)
- x en el grado 3/(e en el grado x-1)
- x^3/e^x-1
- x^3 dividir por (e^x-1)
-
Expresiones semejantes
- x^3/(e^x+1)
Gráfico de la función y = x^3/(e^x-1)
Solución
Ha introducido
[src]
3
x
f(x) = ------
x
E - 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{e^{x} - 1}$$
f = x^3/(E^x - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3}}{e^{x} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución numérica
$$x_{1} = 76.2147268831127$$
$$x_{2} = 50.9886343393575$$
$$x_{3} = 103.889443728221$$
$$x_{4} = 64.4686693421837$$
$$x_{5} = 97.9406256913241$$
$$x_{6} = 91.9998011210345$$
$$x_{7} = 68.3711434889037$$
$$x_{8} = 109.844736107553$$
$$x_{9} = 113.817945104066$$
$$x_{10} = 60.583728892351$$
$$x_{11} = 74.2498293547747$$
$$x_{12} = 107.858996843108$$
$$x_{13} = 39.9621396083304$$
$$x_{14} = 66.4179766096377$$
$$x_{15} = 101.905718658495$$
$$x_{16} = 95.9593746156686$$
$$x_{17} = 54.8012720585184$$
$$x_{18} = 88.0446699300268$$
$$x_{19} = 43.5363647613284$$
$$x_{20} = 84.0947578295009$$
$$x_{21} = 117.793236913112$$
$$x_{22} = 70.3277433163808$$
$$x_{23} = 82.1220528473812$$
$$x_{24} = 78.181864782784$$
$$x_{25} = 90.0216356011828$$
$$x_{26} = 119.7815893439$$
$$x_{27} = 86.0690060516037$$
$$x_{28} = 111.831064115115$$
$$x_{29} = 45.3699033595013$$
$$x_{30} = 115.805346154896$$
$$x_{31} = 41.7310513497591$$
$$x_{32} = 105.873885239726$$
$$x_{33} = 52.8897741765515$$
$$x_{34} = 58.6493938015257$$
$$x_{35} = 121.770377514453$$
$$x_{36} = 56.7215653754984$$
$$x_{37} = 80.1510345473422$$
$$x_{38} = 93.9790749415684$$
$$x_{39} = 72.2874103791773$$
$$x_{40} = 49.0998156927244$$
$$x_{41} = 99.9227607635738$$
$$x_{42} = 47.2258221025428$$
$$x_{43} = 62.5237226565755$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3}}{e^{x} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución numérica
$$x_{1} = 76.2147268831127$$
$$x_{2} = 50.9886343393575$$
$$x_{3} = 103.889443728221$$
$$x_{4} = 64.4686693421837$$
$$x_{5} = 97.9406256913241$$
$$x_{6} = 91.9998011210345$$
$$x_{7} = 68.3711434889037$$
$$x_{8} = 109.844736107553$$
$$x_{9} = 113.817945104066$$
$$x_{10} = 60.583728892351$$
$$x_{11} = 74.2498293547747$$
$$x_{12} = 107.858996843108$$
$$x_{13} = 39.9621396083304$$
$$x_{14} = 66.4179766096377$$
$$x_{15} = 101.905718658495$$
$$x_{16} = 95.9593746156686$$
$$x_{17} = 54.8012720585184$$
$$x_{18} = 88.0446699300268$$
$$x_{19} = 43.5363647613284$$
$$x_{20} = 84.0947578295009$$
$$x_{21} = 117.793236913112$$
$$x_{22} = 70.3277433163808$$
$$x_{23} = 82.1220528473812$$
$$x_{24} = 78.181864782784$$
$$x_{25} = 90.0216356011828$$
$$x_{26} = 119.7815893439$$
$$x_{27} = 86.0690060516037$$
$$x_{28} = 111.831064115115$$
$$x_{29} = 45.3699033595013$$
$$x_{30} = 115.805346154896$$
$$x_{31} = 41.7310513497591$$
$$x_{32} = 105.873885239726$$
$$x_{33} = 52.8897741765515$$
$$x_{34} = 58.6493938015257$$
$$x_{35} = 121.770377514453$$
$$x_{36} = 56.7215653754984$$
$$x_{37} = 80.1510345473422$$
$$x_{38} = 93.9790749415684$$
$$x_{39} = 72.2874103791773$$
$$x_{40} = 49.0998156927244$$
$$x_{41} = 99.9227607635738$$
$$x_{42} = 47.2258221025428$$
$$x_{43} = 62.5237226565755$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{x^{3} e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{e^{x} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = W\left(- \frac{3}{e^{3}}\right) + 3$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = W\left(- \frac{3}{e^{3}}\right) + 3$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, W\left(- \frac{3}{e^{3}}\right) + 3\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[W\left(- \frac{3}{e^{3}}\right) + 3, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{x^{3} e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{e^{x} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = W\left(- \frac{3}{e^{3}}\right) + 3$$
Signos de extremos en los puntos:
3
/ / -3\\
/ -3\ \3 + W\-3*e //
(3 + W\-3*e /, -------------------)
/ -3\
3 + W\-3*e /
-1 + e Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = W\left(- \frac{3}{e^{3}}\right) + 3$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, W\left(- \frac{3}{e^{3}}\right) + 3\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[W\left(- \frac{3}{e^{3}}\right) + 3, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{x \left(- \frac{x^{2} \left(1 - \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 1}\right) e^{x}}{e^{x} - 1} - \frac{6 x e^{x}}{e^{x} - 1} + 6\right)}{e^{x} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 117.805587591537$$
$$x_{2} = 40.8277982241617$$
$$x_{3} = 105.889796565181$$
$$x_{4} = 51.107121623945$$
$$x_{5} = 80.1828629642415$$
$$x_{6} = 40.2748270908332$$
$$x_{7} = 113.831336651302$$
$$x_{8} = 60.6525895654691$$
$$x_{9} = 101.923165836071$$
$$x_{10} = 107.874215312246$$
$$x_{11} = 62.5865075577085$$
$$x_{12} = 56.8055953520444$$
$$x_{13} = 99.9410607947729$$
$$x_{14} = 70.3728289477988$$
$$x_{15} = 86.0955163735954$$
$$x_{16} = 121.78180424635$$
$$x_{17} = 52.9946995930489$$
$$x_{18} = 92.0222257018945$$
$$x_{19} = 84.1228817430259$$
$$x_{20} = 0.966267739493919$$
$$x_{21} = 64.5261544453703$$
$$x_{22} = 74.2887617127108$$
$$x_{23} = 68.4198714734272$$
$$x_{24} = 115.818201461407$$
$$x_{25} = 119.793464567005$$
$$x_{26} = 88.0697020176021$$
$$x_{27} = 62.4487240152167$$
$$x_{28} = 95.9795796685177$$
$$x_{29} = 94.0003463048168$$
$$x_{30} = 78.2158273210112$$
$$x_{31} = 41.9862433964437$$
$$x_{32} = 58.7252674670052$$
$$x_{33} = 38.6357440999074$$
$$x_{34} = 54.8948687562614$$
$$x_{35} = 72.3292493345526$$
$$x_{36} = 47.3809695076088$$
$$x_{37} = 76.2510466078302$$
$$x_{38} = 111.845026216526$$
$$x_{39} = 103.90609640863$$
$$x_{40} = 49.2347425344452$$
$$x_{41} = 43.7491520314742$$
$$x_{42} = 66.4708101699993$$
$$x_{43} = 90.0453100425237$$
$$x_{44} = 4.62324708850268$$
$$x_{45} = 109.859306072625$$
$$x_{46} = 45.5503553461559$$
$$x_{47} = 82.1519428206282$$
$$x_{48} = 97.9598428040105$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x \left(- \frac{x^{2} \left(1 - \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 1}\right) e^{x}}{e^{x} - 1} - \frac{6 x e^{x}}{e^{x} - 1} + 6\right)}{e^{x} - 1}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \left(- \frac{x^{2} \left(1 - \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 1}\right) e^{x}}{e^{x} - 1} - \frac{6 x e^{x}}{e^{x} - 1} + 6\right)}{e^{x} - 1}\right) = 2$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0.966267739493919\right] \cup \left[4.62324708850268, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0.966267739493919, 4.62324708850268\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{x \left(- \frac{x^{2} \left(1 - \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 1}\right) e^{x}}{e^{x} - 1} - \frac{6 x e^{x}}{e^{x} - 1} + 6\right)}{e^{x} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 117.805587591537$$
$$x_{2} = 40.8277982241617$$
$$x_{3} = 105.889796565181$$
$$x_{4} = 51.107121623945$$
$$x_{5} = 80.1828629642415$$
$$x_{6} = 40.2748270908332$$
$$x_{7} = 113.831336651302$$
$$x_{8} = 60.6525895654691$$
$$x_{9} = 101.923165836071$$
$$x_{10} = 107.874215312246$$
$$x_{11} = 62.5865075577085$$
$$x_{12} = 56.8055953520444$$
$$x_{13} = 99.9410607947729$$
$$x_{14} = 70.3728289477988$$
$$x_{15} = 86.0955163735954$$
$$x_{16} = 121.78180424635$$
$$x_{17} = 52.9946995930489$$
$$x_{18} = 92.0222257018945$$
$$x_{19} = 84.1228817430259$$
$$x_{20} = 0.966267739493919$$
$$x_{21} = 64.5261544453703$$
$$x_{22} = 74.2887617127108$$
$$x_{23} = 68.4198714734272$$
$$x_{24} = 115.818201461407$$
$$x_{25} = 119.793464567005$$
$$x_{26} = 88.0697020176021$$
$$x_{27} = 62.4487240152167$$
$$x_{28} = 95.9795796685177$$
$$x_{29} = 94.0003463048168$$
$$x_{30} = 78.2158273210112$$
$$x_{31} = 41.9862433964437$$
$$x_{32} = 58.7252674670052$$
$$x_{33} = 38.6357440999074$$
$$x_{34} = 54.8948687562614$$
$$x_{35} = 72.3292493345526$$
$$x_{36} = 47.3809695076088$$
$$x_{37} = 76.2510466078302$$
$$x_{38} = 111.845026216526$$
$$x_{39} = 103.90609640863$$
$$x_{40} = 49.2347425344452$$
$$x_{41} = 43.7491520314742$$
$$x_{42} = 66.4708101699993$$
$$x_{43} = 90.0453100425237$$
$$x_{44} = 4.62324708850268$$
$$x_{45} = 109.859306072625$$
$$x_{46} = 45.5503553461559$$
$$x_{47} = 82.1519428206282$$
$$x_{48} = 97.9598428040105$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x \left(- \frac{x^{2} \left(1 - \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 1}\right) e^{x}}{e^{x} - 1} - \frac{6 x e^{x}}{e^{x} - 1} + 6\right)}{e^{x} - 1}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \left(- \frac{x^{2} \left(1 - \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 1}\right) e^{x}}{e^{x} - 1} - \frac{6 x e^{x}}{e^{x} - 1} + 6\right)}{e^{x} - 1}\right) = 2$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0.966267739493919\right] \cup \left[4.62324708850268, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0.966267739493919, 4.62324708850268\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{e^{x} - 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{e^{x} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{e^{x} - 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{e^{x} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3/(E^x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{e^{x} - 1}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{e^{x} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{e^{x} - 1}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{e^{x} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3}}{e^{x} - 1} = - \frac{x^{3}}{-1 + e^{- x}}$$
- No
$$\frac{x^{3}}{e^{x} - 1} = \frac{x^{3}}{-1 + e^{- x}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3}}{e^{x} - 1} = - \frac{x^{3}}{-1 + e^{- x}}$$
- No
$$\frac{x^{3}}{e^{x} - 1} = \frac{x^{3}}{-1 + e^{- x}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar