Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ -2cos(x-5/12*pi)

Gráfico de la función y = -2cos(x-5/12*pi)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             /    5*pi\
f(x) = -2*cos|x - ----|
             \     12 /
f(x)=−2cos⁡(x−5π12)f{\left(x \right)} = - 2 \cos{\left(x - \frac{5 \pi}{12} \right)} 
f = -2*cos(x - 5*pi/12)
Gráfico de la función
-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.00.10.20.30.40.50.60.72.5-2.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−2cos⁡(x−5π12)=0- 2 \cos{\left(x - \frac{5 \pi}{12} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π12x_{1} = - \frac{\pi}{12}
x2=11π12x_{2} = \frac{11 \pi}{12}
Solución numérica
x1=−72.5184304203644x_{1} = -72.5184304203644
x2=−12.8281700021583x_{2} = -12.8281700021583
x3=−44.2440965380563x_{3} = -44.2440965380563
x4=43.720497762458x_{4} = 43.720497762458
x5=112.835536141433x_{5} = 112.835536141433
x6=53.1452757232273x_{6} = 53.1452757232273
x7=71.9948316447661x_{7} = 71.9948316447661
x8=9.16297857297023x_{8} = 9.16297857297023
x9=−85.0848010347236x_{9} = -85.0848010347236
x10=−100.792764302673x_{10} = -100.792764302673
x11=−53.6688744988256x_{11} = -53.6688744988256
x12=24.8709418409192x_{12} = 24.8709418409192
x13=34.2957198016886x_{13} = 34.2957198016886
x14=37.4373124552784x_{14} = 37.4373124552784
x15=−0.261799387799149x_{15} = -0.261799387799149
x16=−22.2529479629277x_{16} = -22.2529479629277
x17=−19.1113553093379x_{17} = -19.1113553093379
x18=−2189.95187893988x_{18} = -2189.95187893988
x19=−78.801615727544x_{19} = -78.801615727544
x20=40.5789051088682x_{20} = 40.5789051088682
x21=−75.6600230739542x_{21} = -75.6600230739542
x22=62.5700536839967x_{22} = 62.5700536839967
x23=56.2868683768171x_{23} = 56.2868683768171
x24=−59.9520598060052x_{24} = -59.9520598060052
x25=−34.8193185772869x_{25} = -34.8193185772869
x26=93.9859802198946x_{26} = 93.9859802198946
x27=−66.2352451131848x_{27} = -66.2352451131848
x28=−28.5361332701073x_{28} = -28.5361332701073
x29=87.7027949127151x_{29} = 87.7027949127151
x30=18.5877565337396x_{30} = 18.5877565337396
x31=−25.3945406165175x_{31} = -25.3945406165175
x32=−63.093652459595x_{32} = -63.093652459595
x33=−15.9697626557481x_{33} = -15.9697626557481
x34=97.1275728734844x_{34} = 97.1275728734844
x35=21.7293491873294x_{35} = 21.7293491873294
x36=68.8532389911763x_{36} = 68.8532389911763
x37=75.1364242983559x_{37} = 75.1364242983559
x38=−9.68657734856853x_{38} = -9.68657734856853
x39=−56.8104671524154x_{39} = -56.8104671524154
x40=−81.9432083811338x_{40} = -81.9432083811338
x41=81.4196096055355x_{41} = 81.4196096055355
x42=15.4461638801498x_{42} = 15.4461638801498
x43=−3.40339204138894x_{43} = -3.40339204138894
x44=14721.241375334x_{44} = 14721.241375334
x45=84.5612022591253x_{45} = 84.5612022591253
x46=−94.5095789954929x_{46} = -94.5095789954929
x47=−69.3768377667746x_{47} = -69.3768377667746
x48=28.012534494509x_{48} = 28.012534494509
x49=−91.3679863419031x_{49} = -91.3679863419031
x50=78.2780169519457x_{50} = 78.2780169519457
x51=−37.9609112308767x_{51} = -37.9609112308767
x52=100.269165527074x_{52} = 100.269165527074
x53=−6.54498469497874x_{53} = -6.54498469497874
x54=−47.3856891916461x_{54} = -47.3856891916461
x55=−31.6777259236971x_{55} = -31.6777259236971
x56=12.30457122656x_{56} = 12.30457122656
x57=59.4284610304069x_{57} = 59.4284610304069
x58=65.7116463375865x_{58} = 65.7116463375865
x59=50.0036830696375x_{59} = 50.0036830696375
x60=46.8620904160477x_{60} = 46.8620904160477
x61=−97.6511716490827x_{61} = -97.6511716490827
x62=31.1541271480988x_{62} = 31.1541271480988
x63=90.8443875663049x_{63} = 90.8443875663049
x64=−50.5272818452358x_{64} = -50.5272818452358
x65=2.87979326579064x_{65} = 2.87979326579064
x66=6.02138591938044x_{66} = 6.02138591938044
x67=−88.2263936883134x_{67} = -88.2263936883134
x68=−41.1025038844665x_{68} = -41.1025038844665
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -2*cos(x - 5*pi/12).
−2cos⁡(−5π12)- 2 \cos{\left(- \frac{5 \pi}{12} \right)}
Resultado:
f(0)=−62+22f{\left(0 \right)} = - \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}
Punto:
(0, sqrt(2)/2 - sqrt(6)/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2cos⁡(x+π12)=0- 2 \cos{\left(x + \frac{\pi}{12} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=5π12x_{1} = \frac{5 \pi}{12}
x2=17π12x_{2} = \frac{17 \pi}{12}
Signos de extremos en los puntos:
 5*pi     
(----, -2)
  12      

 17*pi    
(-----, 2)
   12


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=5π12x_{1} = \frac{5 \pi}{12}
Puntos máximos de la función:
x1=17π12x_{1} = \frac{17 \pi}{12}
Decrece en los intervalos
[5π12,17π12]\left[\frac{5 \pi}{12}, \frac{17 \pi}{12}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,5π12]∪[17π12,∞)\left(-\infty, \frac{5 \pi}{12}\right] \cup \left[\frac{17 \pi}{12}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2sin⁡(x+π12)=02 \sin{\left(x + \frac{\pi}{12} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π12x_{1} = - \frac{\pi}{12}
x2=11π12x_{2} = \frac{11 \pi}{12}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π12,11π12]\left[- \frac{\pi}{12}, \frac{11 \pi}{12}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−π12]∪[11π12,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{12}\right] \cup \left[\frac{11 \pi}{12}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−2cos⁡(x−5π12))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(- 2 \cos{\left(x - \frac{5 \pi}{12} \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(−2cos⁡(x−5π12))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(- 2 \cos{\left(x - \frac{5 \pi}{12} \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -2*cos(x - 5*pi/12), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−2cos⁡(x−5π12)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{2 \cos{\left(x - \frac{5 \pi}{12} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−2cos⁡(x−5π12)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2 \cos{\left(x - \frac{5 \pi}{12} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−2cos⁡(x−5π12)=−2cos⁡(x+5π12)- 2 \cos{\left(x - \frac{5 \pi}{12} \right)} = - 2 \cos{\left(x + \frac{5 \pi}{12} \right)}
- No
−2cos⁡(x−5π12)=2cos⁡(x+5π12)- 2 \cos{\left(x - \frac{5 \pi}{12} \right)} = 2 \cos{\left(x + \frac{5 \pi}{12} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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