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x^2-1/x^2
Trazado el gráfico de la función/ x^2-1/x^2

Gráfico de la función y = x^2-1/x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2   1 
f(x) = x  - --
             2
            x
f(x)=x2−1x2f{\left(x \right)} = x^{2} - \frac{1}{x^{2}} 
f = x^2 - 1/x^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2−1x2=0x^{2} - \frac{1}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=−1x_{2} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2 - 1/x^2.
02−1020^{2} - \frac{1}{0^{2}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x+2x3=02 x + \frac{2}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(1−3x4)=02 \left(1 - \frac{3}{x^{4}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−34x_{1} = - \sqrt[4]{3}
x2=34x_{2} = \sqrt[4]{3}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(2(1−3x4))=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(2 \left(1 - \frac{3}{x^{4}}\right)\right) = -\infty
lim⁡x→0+(2(1−3x4))=−∞\lim_{x \to 0^+}\left(2 \left(1 - \frac{3}{x^{4}}\right)\right) = -\infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−34]∪[34,∞)\left(-\infty, - \sqrt[4]{3}\right] \cup \left[\sqrt[4]{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−34,34]\left[- \sqrt[4]{3}, \sqrt[4]{3}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2−1x2)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} - \frac{1}{x^{2}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2−1x2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - \frac{1}{x^{2}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2 - 1/x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2−1x2x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(x2−1x2x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2−1x2=x2−1x2x^{2} - \frac{1}{x^{2}} = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}
- Sí
x2−1x2=−x2+1x2x^{2} - \frac{1}{x^{2}} = - x^{2} + \frac{1}{x^{2}}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = x^2-1/x^2
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