Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(x+pi/6)*(-3)-2

Gráfico de la función y = sin(x+pi/6)*(-3)-2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /    pi\         
f(x) = sin|x + --|*(-3) - 2
          \    6 /
f(x)=(−3)sin⁡(x+π6)−2f{\left(x \right)} = \left(-3\right) \sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} - 2 
f = (-3)*sin(x + pi/6) - 2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-10
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−3)sin⁡(x+π6)−2=0\left(-3\right) \sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} - 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−asin⁡(23)−π6x_{1} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)} - \frac{\pi}{6}
x2=asin⁡(23)+5π6x_{2} = \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)} + \frac{5 \pi}{6}
Solución numérica
x1=−38.9524382749028x_{1} = -38.9524382749028
x2=−59.4841315375774x_{2} = -59.4841315375774
x3=−78.3336874591162x_{3} = -78.3336874591162
x4=74.1448972543298x_{4} = 74.1448972543298
x5=−51.518808889262x_{5} = -51.518808889262
x6=−103.466428687835x_{6} = -103.466428687835
x7=−40.6345756160386x_{7} = -40.6345756160386
x8=−298.245173210402x_{8} = -298.245173210402
x9=9.63090684139805x_{9} = 9.63090684139805
x10=−46.9177609232182x_{10} = -46.9177609232182
x11=−133.200217882597x_{11} = -133.200217882597
x12=−21.7850196944999x_{12} = -21.7850196944999
x13=−12950.898244529x_{13} = -12950.898244529
x14=61.5785266399706x_{14} = 61.5785266399706
x15=−2.93546377296113x_{15} = -2.93546377296113
x16=34.7636480701164x_{16} = 34.7636480701164
x17=−34.3513903088591x_{17} = -34.3513903088591
x18=−26.3860676605436x_{18} = -26.3860676605436
x19=72.4627599131939x_{19} = 72.4627599131939
x20=22.1972774557572x_{20} = 22.1972774557572
x21=28.4804627629368x_{21} = 28.4804627629368
x22=67.8617119471502x_{22} = 67.8617119471502
x23=−82.9347354251599x_{23} = -82.9347354251599
x24=59.8963892988347x_{24} = 59.8963892988347
x25=−65.767316844757x_{25} = -65.767316844757
x26=86.7112678686889x_{26} = 86.7112678686889
x27=36.4457854112523x_{27} = 36.4457854112523
x28=−57.8019941964415x_{28} = -57.8019941964415
x29=47.3300186844756x_{29} = 47.3300186844756
x30=3798.39164707069x_{30} = 3798.39164707069
x31=−1.25332643182527x_{31} = -1.25332643182527
x32=92.9944531758685x_{32} = 92.9944531758685
x33=−95.5011060395191x_{33} = -95.5011060395191
x34=−210.280578909887x_{34} = -210.280578909887
x35=−45.2356235820824x_{35} = -45.2356235820824
x36=49.0121560256114x_{36} = 49.0121560256114
x37=−15.5018343873203x_{37} = -15.5018343873203
x38=78.7459452203735x_{38} = 78.7459452203735
x39=85.0291305275531x_{39} = 85.0291305275531
x40=−32.6692529677232x_{40} = -32.6692529677232
x41=91.3123158347327x_{41} = 91.3123158347327
x42=−72.0505021519366x_{42} = -72.0505021519366
x43=−591.872745306706x_{43} = -591.872745306706
x44=−84.6168727662958x_{44} = -84.6168727662958
x45=15.9140921485776x_{45} = 15.9140921485776
x46=−13.8196970461844x_{46} = -13.8196970461844
x47=5.02985887535432x_{47} = 5.02985887535432
x48=23.8794147968931x_{48} = 23.8794147968931
x49=−70.3683648108007x_{49} = -70.3683648108007
x50=−53.2009462303978x_{50} = -53.2009462303978
x51=17.5962294897135x_{51} = 17.5962294897135
x52=−97.1832433806549x_{52} = -97.1832433806549
x53=−20.102882353364x_{53} = -20.102882353364
x54=−76.6515501179803x_{54} = -76.6515501179803
x55=80.4280825615094x_{55} = 80.4280825615094
x56=66.1795746060143x_{56} = 66.1795746060143
x57=55.295341332791x_{57} = 55.295341332791
x58=−64.0851795036211x_{58} = -64.0851795036211
x59=−90.9000580734753x_{59} = -90.9000580734753
x60=−7.53651173900485x_{60} = -7.53651173900485
x61=−28.0682050016795x_{61} = -28.0682050016795
x62=−9.21864908014071x_{62} = -9.21864908014071
x63=11.3130441825339x_{63} = 11.3130441825339
x64=3.34772153421846x_{64} = 3.34772153421846
x65=−89.2179207323395x_{65} = -89.2179207323395
x66=41.046833377296x_{66} = 41.046833377296
x67=99.2776384830481x_{67} = 99.2776384830481
x68=30.1626001040727x_{68} = 30.1626001040727
x69=53.6132039916552x_{69} = 53.6132039916552
x70=97.5955011419123x_{70} = 97.5955011419123
x71=42.7289707184318x_{71} = 42.7289707184318
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x + pi/6)*(-3) - 2.
−2+(−3)sin⁡(π6)-2 + \left(-3\right) \sin{\left(\frac{\pi}{6} \right)}
Resultado:
f(0)=−72f{\left(0 \right)} = - \frac{7}{2}
Punto:
(0, -7/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3cos⁡(x+π6)=0- 3 \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
x2=4π3x_{2} = \frac{4 \pi}{3}
Signos de extremos en los puntos:
 pi            /pi   pi\ 
(--, -2 - 3*sin|-- + --|)
 3             \3    6 / 

 4*pi            /pi   pi\ 
(----, -2 + 3*sin|-- + --|)
  3              \3    6 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=4π3x_{1} = \frac{4 \pi}{3}
Decrece en los intervalos
[π3,4π3]\left[\frac{\pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,π3]∪[4π3,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{4 \pi}{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3sin⁡(x+π6)=03 \sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π6x_{1} = - \frac{\pi}{6}
x2=5π6x_{2} = \frac{5 \pi}{6}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π6,5π6]\left[- \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−π6]∪[5π6,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{6}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−3)sin⁡(x+π6)−2)=⟨−5,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\left(-3\right) \sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} - 2\right) = \left\langle -5, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−5,1⟩y = \left\langle -5, 1\right\rangle
lim⁡x→∞((−3)sin⁡(x+π6)−2)=⟨−5,1⟩\lim_{x \to \infty}\left(\left(-3\right) \sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} - 2\right) = \left\langle -5, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−5,1⟩y = \left\langle -5, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x + pi/6)*(-3) - 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−3)sin⁡(x+π6)−2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(-3\right) \sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} - 2}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((−3)sin⁡(x+π6)−2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-3\right) \sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} - 2}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−3)sin⁡(x+π6)−2=3sin⁡(x−π6)−2\left(-3\right) \sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} - 2 = 3 \sin{\left(x - \frac{\pi}{6} \right)} - 2
- No
(−3)sin⁡(x+π6)−2=2−3sin⁡(x−π6)\left(-3\right) \sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} - 2 = 2 - 3 \sin{\left(x - \frac{\pi}{6} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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