Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3/3-4*x
-
x^3-6*x^2+9*x+1
-
y=x+2
-
(x^3-x^2)/(4-x^2)
-
Expresiones idénticas
- -x^ dos *(x+ cuatro)^ dos
- menos x al cuadrado multiplicar por (x más 4) al cuadrado
- menos x en el grado dos multiplicar por (x más cuatro) en el grado dos
- -x2*(x+4)2
- -x2*x+42
- -x²*(x+4)²
- -x en el grado 2*(x+4) en el grado 2
- -x^2(x+4)^2
- -x2(x+4)2
- -x2x+42
- -x^2x+4^2
-
Expresiones semejantes
- -x^2*(x-4)^2
- x^2*(x+4)^2
Gráfico de la función y = -x^2*(x+4)^2
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 f(x) = -x *(x + 4)
$$f{\left(x \right)} = - x^{2} \left(x + 4\right)^{2}$$
f = (-x^2)*(x + 4)^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- x^{2} \left(x + 4\right)^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- x^{2} \left(x + 4\right)^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- x^{2} \left(2 x + 8\right) - 2 x \left(x + 4\right)^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -4\right] \cup \left[-2, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- x^{2} \left(2 x + 8\right) - 2 x \left(x + 4\right)^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
(-4, 0)
(-2, -16)
(0, 0)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -4\right] \cup \left[-2, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 2 \left(x^{2} + 4 x \left(x + 4\right) + \left(x + 4\right)^{2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = -2 + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-2 - \frac{2 \sqrt{3}}{3}, -2 + \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -2 - \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[-2 + \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 2 \left(x^{2} + 4 x \left(x + 4\right) + \left(x + 4\right)^{2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = -2 + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-2 - \frac{2 \sqrt{3}}{3}, -2 + \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -2 - \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[-2 + \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{2} \left(x + 4\right)^{2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} \left(x + 4\right)^{2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{2} \left(x + 4\right)^{2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} \left(x + 4\right)^{2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-x^2)*(x + 4)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x \left(x + 4\right)^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x \left(x + 4\right)^{2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x \left(x + 4\right)^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x \left(x + 4\right)^{2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- x^{2} \left(x + 4\right)^{2} = - x^{2} \left(4 - x\right)^{2}$$
- No
$$- x^{2} \left(x + 4\right)^{2} = x^{2} \left(4 - x\right)^{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$- x^{2} \left(x + 4\right)^{2} = - x^{2} \left(4 - x\right)^{2}$$
- No
$$- x^{2} \left(x + 4\right)^{2} = x^{2} \left(4 - x\right)^{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico