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-1/15x^3-1/5x^2+3/5x+2
Trazado el gráfico de la función/ -1/15x^3-1/5x^2+3/5x+2

Gráfico de la función y = -1/15x^3-1/5x^2+3/5x+2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          3    2          
         x    x    3*x    
f(x) = - -- - -- + --- + 2
         15   5     5
f(x)=(3x5+(−x315−x25))+2f{\left(x \right)} = \left(\frac{3 x}{5} + \left(- \frac{x^{3}}{15} - \frac{x^{2}}{5}\right)\right) + 2 
f = 3*x/5 - x^3/15 - x^2/5 + 2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(3x5+(−x315−x25))+2=0\left(\frac{3 x}{5} + \left(- \frac{x^{3}}{15} - \frac{x^{2}}{5}\right)\right) + 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1+41052+1923+1052+1923x_{1} = -1 + \frac{4}{\sqrt[3]{\frac{\sqrt{105}}{2} + \frac{19}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{105}}{2} + \frac{19}{2}}
Solución numérica
x1=3.0811247605095x_{1} = 3.0811247605095
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -x^3/15 - x^2/5 + 3*x/5 + 2.
((−0315−025)+0⋅35)+2\left(\left(- \frac{0^{3}}{15} - \frac{0^{2}}{5}\right) + \frac{0 \cdot 3}{5}\right) + 2
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x25−2x5+35=0- \frac{x^{2}}{5} - \frac{2 x}{5} + \frac{3}{5} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3x_{1} = -3
x2=1x_{2} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(-3, 1/5)

(1, 7/3)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−3x_{1} = -3
Puntos máximos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Decrece en los intervalos
[−3,1]\left[-3, 1\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−3]∪[1,∞)\left(-\infty, -3\right] \cup \left[1, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(x+1)5=0- \frac{2 \left(x + 1\right)}{5} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−1]\left(-\infty, -1\right]
Convexa en los intervalos
[−1,∞)\left[-1, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((3x5+(−x315−x25))+2)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\frac{3 x}{5} + \left(- \frac{x^{3}}{15} - \frac{x^{2}}{5}\right)\right) + 2\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((3x5+(−x315−x25))+2)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{3 x}{5} + \left(- \frac{x^{3}}{15} - \frac{x^{2}}{5}\right)\right) + 2\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -x^3/15 - x^2/5 + 3*x/5 + 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((3x5+(−x315−x25))+2x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\frac{3 x}{5} + \left(- \frac{x^{3}}{15} - \frac{x^{2}}{5}\right)\right) + 2}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((3x5+(−x315−x25))+2x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{3 x}{5} + \left(- \frac{x^{3}}{15} - \frac{x^{2}}{5}\right)\right) + 2}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(3x5+(−x315−x25))+2=x315−x25−3x5+2\left(\frac{3 x}{5} + \left(- \frac{x^{3}}{15} - \frac{x^{2}}{5}\right)\right) + 2 = \frac{x^{3}}{15} - \frac{x^{2}}{5} - \frac{3 x}{5} + 2
- No
(3x5+(−x315−x25))+2=−x315+x25+3x5−2\left(\frac{3 x}{5} + \left(- \frac{x^{3}}{15} - \frac{x^{2}}{5}\right)\right) + 2 = - \frac{x^{3}}{15} + \frac{x^{2}}{5} + \frac{3 x}{5} - 2
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = -1/15x^3-1/5x^2+3/5x+2
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