Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
-x^3/(x^2+3)
-
(x^(3))/(x^(2)-4)
-
(x^3-x-1)/x^2
-
x^3/(x^2-16)
-
Expresiones idénticas
- y=(x^ cuatro - cinco *x^ dos + cuatro)/(x+ dos)•(x- uno)
- y es igual a (x en el grado 4 menos 5 multiplicar por x al cuadrado más 4) dividir por (x más 2)•(x menos 1)
- y es igual a (x en el grado cuatro menos cinco multiplicar por x en el grado dos más cuatro) dividir por (x más dos)•(x menos uno)
- y=(x4-5*x2+4)/(x+2)•(x-1)
- y=x4-5*x2+4/x+2•x-1
- y=(x⁴-5*x²+4)/(x+2)•(x-1)
- y=(x en el grado 4-5*x en el grado 2+4)/(x+2)•(x-1)
- y=(x^4-5x^2+4)/(x+2)•(x-1)
- y=(x4-5x2+4)/(x+2)•(x-1)
- y=x4-5x2+4/x+2•x-1
- y=x^4-5x^2+4/x+2•x-1
- y=(x^4-5*x^2+4) dividir por (x+2)•(x-1)
-
Expresiones semejantes
- y=(x^4-5*x^2+4)/(x-2)•(x-1)
- y=(x^4+5*x^2+4)/(x+2)•(x-1)
- y=(x^4-5*x^2+4)/(x+2)•(x+1)
- y=(x^4-5*x^2-4)/(x+2)•(x-1)
Gráfico de la función y = y=(x^4-5*x^2+4)/(x+2)•(x-1)
Solución
Ha introducido
[src]
4 2
x - 5*x + 4
f(x) = -------------*(x - 1)
x + 2
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{4} - 5 x^{2}\right) + 4}{x + 2} \left(x - 1\right)$$
f = ((x^4 - 5*x^2 + 4)/(x + 2))*(x - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{1} = -2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x^{4} - 5 x^{2}\right) + 4}{x + 2} \left(x - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.999999648769884$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = -1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x^{4} - 5 x^{2}\right) + 4}{x + 2} \left(x - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.999999648769884$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = -1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{3} - 10 x}{x + 2} - \frac{\left(x^{4} - 5 x^{2}\right) + 4}{\left(x + 2\right)^{2}}\right) + \frac{\left(x^{4} - 5 x^{2}\right) + 4}{x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = \frac{5}{8} - \frac{\sqrt{73}}{8}$$
$$x_{3} = \frac{5}{8} + \frac{\sqrt{73}}{8}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{5}{8} - \frac{\sqrt{73}}{8}$$
$$x_{2} = \frac{5}{8} + \frac{\sqrt{73}}{8}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 1$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{73}}{8}, 1\right] \cup \left[\frac{5}{8} + \frac{\sqrt{73}}{8}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{8} - \frac{\sqrt{73}}{8}\right] \cup \left[1, \frac{5}{8} + \frac{\sqrt{73}}{8}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{3} - 10 x}{x + 2} - \frac{\left(x^{4} - 5 x^{2}\right) + 4}{\left(x + 2\right)^{2}}\right) + \frac{\left(x^{4} - 5 x^{2}\right) + 4}{x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = \frac{5}{8} - \frac{\sqrt{73}}{8}$$
$$x_{3} = \frac{5}{8} + \frac{\sqrt{73}}{8}$$
Signos de extremos en los puntos:
(1, 0)
/ 4 2\
/ ____\ | / ____\ / ____\ |
| 3 \/ 73 | | |5 \/ 73 | |5 \/ 73 | |
____ |- - - ------|*|4 + |- - ------| - 5*|- - ------| |
5 \/ 73 \ 8 8 / \ \8 8 / \8 8 / /
(- - ------, ----------------------------------------------------)
8 8 ____
21 \/ 73
-- - ------
8 8 / 4 2\
/ ____\ | / ____\ / ____\ |
| 3 \/ 73 | | |5 \/ 73 | |5 \/ 73 | |
____ |- - + ------|*|4 + |- + ------| - 5*|- + ------| |
5 \/ 73 \ 8 8 / \ \8 8 / \8 8 / /
(- + ------, ----------------------------------------------------)
8 8 ____
21 \/ 73
-- + ------
8 8 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{5}{8} - \frac{\sqrt{73}}{8}$$
$$x_{2} = \frac{5}{8} + \frac{\sqrt{73}}{8}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 1$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{73}}{8}, 1\right] \cup \left[\frac{5}{8} + \frac{\sqrt{73}}{8}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{8} - \frac{\sqrt{73}}{8}\right] \cup \left[1, \frac{5}{8} + \frac{\sqrt{73}}{8}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(2 x \left(2 x^{2} - 5\right) + \left(x - 1\right) \left(6 x^{2} - \frac{2 x \left(2 x^{2} - 5\right)}{x + 2} - 5 + \frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{\left(x + 2\right)^{2}}\right) - \frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{x + 2}\right)}{x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{57}}{12}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{57}}{12} + \frac{3}{4}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{2 \left(2 x \left(2 x^{2} - 5\right) + \left(x - 1\right) \left(6 x^{2} - \frac{2 x \left(2 x^{2} - 5\right)}{x + 2} - 5 + \frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{\left(x + 2\right)^{2}}\right) - \frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{x + 2}\right)}{x + 2}\right) = 86$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 \left(2 x \left(2 x^{2} - 5\right) + \left(x - 1\right) \left(6 x^{2} - \frac{2 x \left(2 x^{2} - 5\right)}{x + 2} - 5 + \frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{\left(x + 2\right)^{2}}\right) - \frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{x + 2}\right)}{x + 2}\right) = 86$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{57}}{12}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{57}}{12} + \frac{3}{4}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{57}}{12}, \frac{\sqrt{57}}{12} + \frac{3}{4}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(2 x \left(2 x^{2} - 5\right) + \left(x - 1\right) \left(6 x^{2} - \frac{2 x \left(2 x^{2} - 5\right)}{x + 2} - 5 + \frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{\left(x + 2\right)^{2}}\right) - \frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{x + 2}\right)}{x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{57}}{12}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{57}}{12} + \frac{3}{4}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{2 \left(2 x \left(2 x^{2} - 5\right) + \left(x - 1\right) \left(6 x^{2} - \frac{2 x \left(2 x^{2} - 5\right)}{x + 2} - 5 + \frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{\left(x + 2\right)^{2}}\right) - \frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{x + 2}\right)}{x + 2}\right) = 86$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 \left(2 x \left(2 x^{2} - 5\right) + \left(x - 1\right) \left(6 x^{2} - \frac{2 x \left(2 x^{2} - 5\right)}{x + 2} - 5 + \frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{\left(x + 2\right)^{2}}\right) - \frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{x + 2}\right)}{x + 2}\right) = 86$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{57}}{12}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{57}}{12} + \frac{3}{4}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{57}}{12}, \frac{\sqrt{57}}{12} + \frac{3}{4}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{1} = -2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 5 x^{2}\right) + 4}{x + 2} \left(x - 1\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 5 x^{2}\right) + 4}{x + 2} \left(x - 1\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 5 x^{2}\right) + 4}{x + 2} \left(x - 1\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 5 x^{2}\right) + 4}{x + 2} \left(x - 1\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x^4 - 5*x^2 + 4)/(x + 2))*(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \left(\left(x^{4} - 5 x^{2}\right) + 4\right)}{x \left(x + 2\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \left(\left(x^{4} - 5 x^{2}\right) + 4\right)}{x \left(x + 2\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \left(\left(x^{4} - 5 x^{2}\right) + 4\right)}{x \left(x + 2\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \left(\left(x^{4} - 5 x^{2}\right) + 4\right)}{x \left(x + 2\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x^{4} - 5 x^{2}\right) + 4}{x + 2} \left(x - 1\right) = \frac{\left(- x - 1\right) \left(\left(x^{4} - 5 x^{2}\right) + 4\right)}{2 - x}$$
- No
$$\frac{\left(x^{4} - 5 x^{2}\right) + 4}{x + 2} \left(x - 1\right) = - \frac{\left(- x - 1\right) \left(\left(x^{4} - 5 x^{2}\right) + 4\right)}{2 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x^{4} - 5 x^{2}\right) + 4}{x + 2} \left(x - 1\right) = \frac{\left(- x - 1\right) \left(\left(x^{4} - 5 x^{2}\right) + 4\right)}{2 - x}$$
- No
$$\frac{\left(x^{4} - 5 x^{2}\right) + 4}{x + 2} \left(x - 1\right) = - \frac{\left(- x - 1\right) \left(\left(x^{4} - 5 x^{2}\right) + 4\right)}{2 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico