Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
-x^3/(x^2+3)
-
(x^(3))/(x^(2)-4)
-
(x^3-x-1)/x^2
-
x^3/(x^2-16)
-
Expresiones idénticas
- x^ tres /(x^ dos - dieciséis)
- x al cubo dividir por (x al cuadrado menos 16)
- x en el grado tres dividir por (x en el grado dos menos dieciséis)
- x3/(x2-16)
- x3/x2-16
- x³/(x²-16)
- x en el grado 3/(x en el grado 2-16)
- x^3/x^2-16
- x^3 dividir por (x^2-16)
-
Expresiones semejantes
- x^3/(x^2+16)
Gráfico de la función y = x^3/(x^2-16)
Solución
Ha introducido
[src]
3
x
f(x) = -------
2
x - 16
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{x^{2} - 16}$$
f = x^3/(x^2 - 16)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 4$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 16} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.000269621541739519$$
$$x_{2} = -0.000137847169884503$$
$$x_{3} = -0.00021460406469673$$
$$x_{4} = 0.000134863640583584$$
$$x_{5} = -0.000145199436539694$$
$$x_{6} = 0.000145685617044736$$
$$x_{7} = -0.000117161193222179$$
$$x_{8} = -0.000206286307860574$$
$$x_{9} = 0.000138284399225553$$
$$x_{10} = 0.00011264634420741$$
$$x_{11} = 0.000271384207567712$$
$$x_{12} = 0.000131610811643761$$
$$x_{13} = 0.000125561115257514$$
$$x_{14} = 0.000224839945283934$$
$$x_{15} = 0.000245814204482574$$
$$x_{16} = -0.000134448116655563$$
$$x_{17} = 0.000257930921645102$$
$$x_{18} = -0.00024438330896481$$
$$x_{19} = -0.000173019999510534$$
$$x_{20} = -0.000178759997618509$$
$$x_{21} = 0.000192365186774099$$
$$x_{22} = -0.000167646593861226$$
$$x_{23} = 0.000128513660775936$$
$$x_{24} = -0.000119722457995554$$
$$x_{25} = 0.000168299456415775$$
$$x_{26} = 0.000215693193102051$$
$$x_{27} = 0.00017371668564729$$
$$x_{28} = -0.000112357847886813$$
$$x_{29} = 0.000153943035752931$$
$$x_{30} = 0$$
$$x_{31} = 0.000199538360490637$$
$$x_{32} = -0.00014918423151878$$
$$x_{33} = -0.000131215391857321$$
$$x_{34} = -0.000198611532703511$$
$$x_{35} = -0.000256347692919678$$
$$x_{36} = 0.000185705694084853$$
$$x_{37} = -0.000223652498074164$$
$$x_{38} = 0.000149698095118871$$
$$x_{39} = 0.000234836927809519$$
$$x_{40} = 0.00011500947755429$$
$$x_{41} = -0.000191505860120859$$
$$x_{42} = 0.000207289213929819$$
$$x_{43} = 0.000141886681762904$$
$$x_{44} = -0.000153399002693746$$
$$x_{45} = 0.000158441708425162$$
$$x_{46} = 0.000122743141220963$$
$$x_{47} = 7.5737739318229 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{48} = -0.000233536604872456$$
$$x_{49} = 0.000117475260747279$$
$$x_{50} = -0.000125201704382163$$
$$x_{51} = -0.000114708607743972$$
$$x_{52} = -0.000184906561870643$$
$$x_{53} = 0.000179505202373416$$
$$x_{54} = -0.000157864706287385$$
$$x_{55} = 0.000163218115841497$$
$$x_{56} = -0.000128136899647539$$
$$x_{57} = 0.000120050623293592$$
$$x_{58} = 0.00013414831342053$$
$$x_{59} = -0.000122399893221679$$
$$x_{60} = -0.000141425968046386$$
$$x_{61} = -0.000162604979845525$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 16} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.000269621541739519$$
$$x_{2} = -0.000137847169884503$$
$$x_{3} = -0.00021460406469673$$
$$x_{4} = 0.000134863640583584$$
$$x_{5} = -0.000145199436539694$$
$$x_{6} = 0.000145685617044736$$
$$x_{7} = -0.000117161193222179$$
$$x_{8} = -0.000206286307860574$$
$$x_{9} = 0.000138284399225553$$
$$x_{10} = 0.00011264634420741$$
$$x_{11} = 0.000271384207567712$$
$$x_{12} = 0.000131610811643761$$
$$x_{13} = 0.000125561115257514$$
$$x_{14} = 0.000224839945283934$$
$$x_{15} = 0.000245814204482574$$
$$x_{16} = -0.000134448116655563$$
$$x_{17} = 0.000257930921645102$$
$$x_{18} = -0.00024438330896481$$
$$x_{19} = -0.000173019999510534$$
$$x_{20} = -0.000178759997618509$$
$$x_{21} = 0.000192365186774099$$
$$x_{22} = -0.000167646593861226$$
$$x_{23} = 0.000128513660775936$$
$$x_{24} = -0.000119722457995554$$
$$x_{25} = 0.000168299456415775$$
$$x_{26} = 0.000215693193102051$$
$$x_{27} = 0.00017371668564729$$
$$x_{28} = -0.000112357847886813$$
$$x_{29} = 0.000153943035752931$$
$$x_{30} = 0$$
$$x_{31} = 0.000199538360490637$$
$$x_{32} = -0.00014918423151878$$
$$x_{33} = -0.000131215391857321$$
$$x_{34} = -0.000198611532703511$$
$$x_{35} = -0.000256347692919678$$
$$x_{36} = 0.000185705694084853$$
$$x_{37} = -0.000223652498074164$$
$$x_{38} = 0.000149698095118871$$
$$x_{39} = 0.000234836927809519$$
$$x_{40} = 0.00011500947755429$$
$$x_{41} = -0.000191505860120859$$
$$x_{42} = 0.000207289213929819$$
$$x_{43} = 0.000141886681762904$$
$$x_{44} = -0.000153399002693746$$
$$x_{45} = 0.000158441708425162$$
$$x_{46} = 0.000122743141220963$$
$$x_{47} = 7.5737739318229 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{48} = -0.000233536604872456$$
$$x_{49} = 0.000117475260747279$$
$$x_{50} = -0.000125201704382163$$
$$x_{51} = -0.000114708607743972$$
$$x_{52} = -0.000184906561870643$$
$$x_{53} = 0.000179505202373416$$
$$x_{54} = -0.000157864706287385$$
$$x_{55} = 0.000163218115841497$$
$$x_{56} = -0.000128136899647539$$
$$x_{57} = 0.000120050623293592$$
$$x_{58} = 0.00013414831342053$$
$$x_{59} = -0.000122399893221679$$
$$x_{60} = -0.000141425968046386$$
$$x_{61} = -0.000162604979845525$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x^{4}}{\left(x^{2} - 16\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 16} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 4 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = 4 \sqrt{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 4 \sqrt{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - 4 \sqrt{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 4 \sqrt{3}\right] \cup \left[4 \sqrt{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- 4 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x^{4}}{\left(x^{2} - 16\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 16} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 4 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = 4 \sqrt{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
___ ___ (-4*\/ 3, -6*\/ 3 )
___ ___ (4*\/ 3, 6*\/ 3 )
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 4 \sqrt{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - 4 \sqrt{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 4 \sqrt{3}\right] \cup \left[4 \sqrt{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- 4 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 1\right)}{x^{2} - 16} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 16} + 3\right)}{x^{2} - 16} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 4$$
$$\lim_{x \to -4^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 1\right)}{x^{2} - 16} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 16} + 3\right)}{x^{2} - 16}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -4^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 1\right)}{x^{2} - 16} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 16} + 3\right)}{x^{2} - 16}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -4$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 4^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 1\right)}{x^{2} - 16} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 16} + 3\right)}{x^{2} - 16}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 1\right)}{x^{2} - 16} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 16} + 3\right)}{x^{2} - 16}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 4$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 1\right)}{x^{2} - 16} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 16} + 3\right)}{x^{2} - 16} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 4$$
$$\lim_{x \to -4^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 1\right)}{x^{2} - 16} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 16} + 3\right)}{x^{2} - 16}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -4^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 1\right)}{x^{2} - 16} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 16} + 3\right)}{x^{2} - 16}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -4$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 4^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 1\right)}{x^{2} - 16} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 16} + 3\right)}{x^{2} - 16}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 1\right)}{x^{2} - 16} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 16} + 3\right)}{x^{2} - 16}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 4$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 4$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} - 16}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} - 16}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} - 16}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} - 16}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3/(x^2 - 16), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 16}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 16}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 16}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 16}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 16} = - \frac{x^{3}}{x^{2} - 16}$$
- No
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 16} = \frac{x^{3}}{x^{2} - 16}$$
- Sí
es decir, función
es
impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 16} = - \frac{x^{3}}{x^{2} - 16}$$
- No
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 16} = \frac{x^{3}}{x^{2} - 16}$$
- Sí
es decir, función
es
impar
Gráfico