Sr Examen

Otras calculadoras

x^3/(x^2-16)
Trazado el gráfico de la función/ x^3/(x^2-16)

Gráfico de la función y = x^3/(x^2-16)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           3  
          x   
f(x) = -------
        2     
       x  - 16
f(x)=x3x2−16f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{x^{2} - 16} 
f = x^3/(x^2 - 16)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−4x_{1} = -4
x2=4x_{2} = 4
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x3x2−16=0\frac{x^{3}}{x^{2} - 16} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=−0.000269621541739519x_{1} = -0.000269621541739519
x2=−0.000137847169884503x_{2} = -0.000137847169884503
x3=−0.00021460406469673x_{3} = -0.00021460406469673
x4=0.000134863640583584x_{4} = 0.000134863640583584
x5=−0.000145199436539694x_{5} = -0.000145199436539694
x6=0.000145685617044736x_{6} = 0.000145685617044736
x7=−0.000117161193222179x_{7} = -0.000117161193222179
x8=−0.000206286307860574x_{8} = -0.000206286307860574
x9=0.000138284399225553x_{9} = 0.000138284399225553
x10=0.00011264634420741x_{10} = 0.00011264634420741
x11=0.000271384207567712x_{11} = 0.000271384207567712
x12=0.000131610811643761x_{12} = 0.000131610811643761
x13=0.000125561115257514x_{13} = 0.000125561115257514
x14=0.000224839945283934x_{14} = 0.000224839945283934
x15=0.000245814204482574x_{15} = 0.000245814204482574
x16=−0.000134448116655563x_{16} = -0.000134448116655563
x17=0.000257930921645102x_{17} = 0.000257930921645102
x18=−0.00024438330896481x_{18} = -0.00024438330896481
x19=−0.000173019999510534x_{19} = -0.000173019999510534
x20=−0.000178759997618509x_{20} = -0.000178759997618509
x21=0.000192365186774099x_{21} = 0.000192365186774099
x22=−0.000167646593861226x_{22} = -0.000167646593861226
x23=0.000128513660775936x_{23} = 0.000128513660775936
x24=−0.000119722457995554x_{24} = -0.000119722457995554
x25=0.000168299456415775x_{25} = 0.000168299456415775
x26=0.000215693193102051x_{26} = 0.000215693193102051
x27=0.00017371668564729x_{27} = 0.00017371668564729
x28=−0.000112357847886813x_{28} = -0.000112357847886813
x29=0.000153943035752931x_{29} = 0.000153943035752931
x30=0x_{30} = 0
x31=0.000199538360490637x_{31} = 0.000199538360490637
x32=−0.00014918423151878x_{32} = -0.00014918423151878
x33=−0.000131215391857321x_{33} = -0.000131215391857321
x34=−0.000198611532703511x_{34} = -0.000198611532703511
x35=−0.000256347692919678x_{35} = -0.000256347692919678
x36=0.000185705694084853x_{36} = 0.000185705694084853
x37=−0.000223652498074164x_{37} = -0.000223652498074164
x38=0.000149698095118871x_{38} = 0.000149698095118871
x39=0.000234836927809519x_{39} = 0.000234836927809519
x40=0.00011500947755429x_{40} = 0.00011500947755429
x41=−0.000191505860120859x_{41} = -0.000191505860120859
x42=0.000207289213929819x_{42} = 0.000207289213929819
x43=0.000141886681762904x_{43} = 0.000141886681762904
x44=−0.000153399002693746x_{44} = -0.000153399002693746
x45=0.000158441708425162x_{45} = 0.000158441708425162
x46=0.000122743141220963x_{46} = 0.000122743141220963
x47=7.5737739318229⋅10−5x_{47} = 7.5737739318229 \cdot 10^{-5}
x48=−0.000233536604872456x_{48} = -0.000233536604872456
x49=0.000117475260747279x_{49} = 0.000117475260747279
x50=−0.000125201704382163x_{50} = -0.000125201704382163
x51=−0.000114708607743972x_{51} = -0.000114708607743972
x52=−0.000184906561870643x_{52} = -0.000184906561870643
x53=0.000179505202373416x_{53} = 0.000179505202373416
x54=−0.000157864706287385x_{54} = -0.000157864706287385
x55=0.000163218115841497x_{55} = 0.000163218115841497
x56=−0.000128136899647539x_{56} = -0.000128136899647539
x57=0.000120050623293592x_{57} = 0.000120050623293592
x58=0.00013414831342053x_{58} = 0.00013414831342053
x59=−0.000122399893221679x_{59} = -0.000122399893221679
x60=−0.000141425968046386x_{60} = -0.000141425968046386
x61=−0.000162604979845525x_{61} = -0.000162604979845525
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3/(x^2 - 16).
03−16+02\frac{0^{3}}{-16 + 0^{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x4(x2−16)2+3x2x2−16=0- \frac{2 x^{4}}{\left(x^{2} - 16\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 16} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−43x_{2} = - 4 \sqrt{3}
x3=43x_{3} = 4 \sqrt{3}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

      ___       ___ 
(-4*\/ 3, -6*\/ 3 )

     ___      ___ 
(4*\/ 3, 6*\/ 3 )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=43x_{1} = 4 \sqrt{3}
Puntos máximos de la función:
x1=−43x_{1} = - 4 \sqrt{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,−43]∪[43,∞)\left(-\infty, - 4 \sqrt{3}\right] \cup \left[4 \sqrt{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−43,43]\left[- 4 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2x(x2(4x2x2−16−1)x2−16−6x2x2−16+3)x2−16=0\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 1\right)}{x^{2} - 16} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 16} + 3\right)}{x^{2} - 16} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−4x_{1} = -4
x2=4x_{2} = 4

lim⁡x→−4−(2x(x2(4x2x2−16−1)x2−16−6x2x2−16+3)x2−16)=−∞\lim_{x \to -4^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 1\right)}{x^{2} - 16} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 16} + 3\right)}{x^{2} - 16}\right) = -\infty
lim⁡x→−4+(2x(x2(4x2x2−16−1)x2−16−6x2x2−16+3)x2−16)=∞\lim_{x \to -4^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 1\right)}{x^{2} - 16} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 16} + 3\right)}{x^{2} - 16}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−4x_{1} = -4
- es el punto de flexión
lim⁡x→4−(2x(x2(4x2x2−16−1)x2−16−6x2x2−16+3)x2−16)=−∞\lim_{x \to 4^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 1\right)}{x^{2} - 16} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 16} + 3\right)}{x^{2} - 16}\right) = -\infty
lim⁡x→4+(2x(x2(4x2x2−16−1)x2−16−6x2x2−16+3)x2−16)=∞\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 1\right)}{x^{2} - 16} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 16} + 3\right)}{x^{2} - 16}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=4x_{2} = 4
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Convexa en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−4x_{1} = -4
x2=4x_{2} = 4
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x3x2−16)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} - 16}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x3x2−16)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} - 16}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3/(x^2 - 16), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2x2−16)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 16}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞(x2x2−16)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 16}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x3x2−16=−x3x2−16\frac{x^{3}}{x^{2} - 16} = - \frac{x^{3}}{x^{2} - 16}
- No
x3x2−16=x3x2−16\frac{x^{3}}{x^{2} - 16} = \frac{x^{3}}{x^{2} - 16}
- Sí
es decir, función
es
impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x^3/(x^2-16)
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