Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x/2+arcsin((4-x^2)/(4+x^2))

Gráfico de la función y = x/2+arcsin((4-x^2)/(4+x^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
               /     2\
       x       |4 - x |
f(x) = - + asin|------|
       2       |     2|
               \4 + x /
f(x)=x2+asin⁡(4−x2x2+4)f{\left(x \right)} = \frac{x}{2} + \operatorname{asin}{\left(\frac{4 - x^{2}}{x^{2} + 4} \right)} 
f = x/2 + asin((4 - x^2)/(x^2 + 4))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2+asin⁡(4−x2x2+4)=0\frac{x}{2} + \operatorname{asin}{\left(\frac{4 - x^{2}}{x^{2} + 4} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−1.11193686143879x_{1} = -1.11193686143879
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x/2 + asin((4 - x^2)/(4 + x^2)).
02+asin⁡(4−0202+4)\frac{0}{2} + \operatorname{asin}{\left(\frac{4 - 0^{2}}{0^{2} + 4} \right)}
Resultado:
f(0)=π2f{\left(0 \right)} = \frac{\pi}{2}
Punto:
(0, pi/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
12+−2x(4−x2)(x2+4)2−2xx2+4−(4−x2)2(x2+4)2+1=0\frac{1}{2} + \frac{- \frac{2 x \left(4 - x^{2}\right)}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} - \frac{2 x}{x^{2} + 4}}{\sqrt{- \frac{\left(4 - x^{2}\right)^{2}}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2x_{1} = 2
Signos de extremos en los puntos:
(2, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2x_{1} = 2
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[2,∞)\left[2, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,2]\left(-\infty, 2\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(4x2(x2−4)(x2+4)2+2x2(x2−4)(x2−4x2+4−1)2(x2+4)2(−(4−x2)2(x2+4)2+1)−4x2x2+4−x2−4x2+4+1)(x2+4)−(4−x2)2(x2+4)2+1=0- \frac{2 \left(\frac{4 x^{2} \left(x^{2} - 4\right)}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} + \frac{2 x^{2} \left(x^{2} - 4\right) \left(\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 4} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 4\right)^{2} \left(- \frac{\left(4 - x^{2}\right)^{2}}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} + 1\right)} - \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 4} - \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 4} + 1\right)}{\left(x^{2} + 4\right) \sqrt{- \frac{\left(4 - x^{2}\right)^{2}}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2+asin⁡(4−x2x2+4))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{2} + \operatorname{asin}{\left(\frac{4 - x^{2}}{x^{2} + 4} \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2+asin⁡(4−x2x2+4))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2} + \operatorname{asin}{\left(\frac{4 - x^{2}}{x^{2} + 4} \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/2 + asin((4 - x^2)/(4 + x^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2+asin⁡(4−x2x2+4)x)=12\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x}{2} + \operatorname{asin}{\left(\frac{4 - x^{2}}{x^{2} + 4} \right)}}{x}\right) = \frac{1}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=x2y = \frac{x}{2}
lim⁡x→∞(x2+asin⁡(4−x2x2+4)x)=12\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x}{2} + \operatorname{asin}{\left(\frac{4 - x^{2}}{x^{2} + 4} \right)}}{x}\right) = \frac{1}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=x2y = \frac{x}{2}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2+asin⁡(4−x2x2+4)=−x2+asin⁡(4−x2x2+4)\frac{x}{2} + \operatorname{asin}{\left(\frac{4 - x^{2}}{x^{2} + 4} \right)} = - \frac{x}{2} + \operatorname{asin}{\left(\frac{4 - x^{2}}{x^{2} + 4} \right)}
- No
x2+asin⁡(4−x2x2+4)=x2−asin⁡(4−x2x2+4)\frac{x}{2} + \operatorname{asin}{\left(\frac{4 - x^{2}}{x^{2} + 4} \right)} = \frac{x}{2} - \operatorname{asin}{\left(\frac{4 - x^{2}}{x^{2} + 4} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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