Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(x^2-x)

Gráfico de la función y = sin(x^2-x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          / 2    \
f(x) = sin\x  - x/
f(x)=sin⁡(x2−x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x^{2} - x \right)} 
f = sin(x^2 - x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x2−x)=0\sin{\left(x^{2} - x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
x3=12−1+4π2x_{3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{1 + 4 \pi}}{2}
x4=12+1+4π2x_{4} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{1 + 4 \pi}}{2}
Solución numérica
x1=51.9646733884147x_{1} = 51.9646733884147
x2=2.34162771851148x_{2} = 2.34162771851148
x3=29.8970743397569x_{3} = 29.8970743397569
x4=28.2477963112298x_{4} = 28.2477963112298
x5=−20.1001215587341x_{5} = -20.1001215587341
x6=96.1645671077179x_{6} = 96.1645671077179
x7=−7.82856760667616x_{7} = -7.82856760667616
x8=8.24210955865429x_{8} = 8.24210955865429
x9=−27.7526907393226x_{9} = -27.7526907393226
x10=−46.0274901356539x_{10} = -46.0274901356539
x11=−17.9266656394394x_{11} = -17.9266656394394
x12=16.0612542658493x_{12} = 16.0612542658493
x13=−67.8275689837889x_{13} = -67.8275689837889
x14=10.2209968422839x_{14} = 10.2209968422839
x15=16.1618717585097x_{15} = 16.1618717585097
x16=71.9296609919844x_{16} = 71.9296609919844
x17=−10.1464705667762x_{17} = -10.1464705667762
x18=18.1427796195891x_{18} = 18.1427796195891
x19=−2.05600964536122x_{19} = -2.05600964536122
x20=−55.6920867814832x_{20} = -55.6920867814832
x21=−69.9999970069436x_{21} = -69.9999970069436
x22=0x_{22} = 0
x23=78.207085135138x_{23} = 78.207085135138
x24=−14.2315950629148x_{24} = -14.2315950629148
x25=−39.0173575639127x_{25} = -39.0173575639127
x26=−87.7866998678526x_{26} = -87.7866998678526
x27=−3.87030387061801x_{27} = -3.87030387061801
x28=4.07999589585787x_{28} = 4.07999589585787
x29=92.1562532274755x_{29} = 92.1562532274755
x30=58.1818569409099x_{30} = 58.1818569409099
x31=−52.3797452877273x_{31} = -52.3797452877273
x32=−29.7399315838285x_{32} = -29.7399315838285
x33=50.1944848622217x_{33} = 50.1944848622217
x34=56.3275013981557x_{34} = 56.3275013981557
x35=68.2735823130833x_{35} = 68.2735823130833
x36=−33.6435334211592x_{36} = -33.6435334211592
x37=22.1413332626453x_{37} = 22.1413332626453
x38=82.1691569906971x_{38} = 82.1691569906971
x39=−96.7926958474584x_{39} = -96.7926958474584
x40=−22.0651946564072x_{40} = -22.0651946564072
x41=−71.9558577628375x_{41} = -71.9558577628375
x42=70.1030593568664x_{42} = 70.1030593568664
x43=−65.7499429212203x_{43} = -65.7499429212203
x44=−15.7525008199213x_{44} = -15.7525008199213
x45=−79.9678349345163x_{45} = -79.9678349345163
x46=−47.7185499953747x_{46} = -47.7185499953747
x47=20.4807974567059x_{47} = 20.4807974567059
x48=−5.91020315564704x_{48} = -5.91020315564704
x49=84.0891862718121x_{49} = 84.0891862718121
x50=−102.56296503491x_{50} = -102.56296503491
x51=−23.8078057190459x_{51} = -23.8078057190459
x52=−25.3121607495583x_{52} = -25.3121607495583
x53=12.1335069563894x_{53} = 12.1335069563894
x54=−93.8751300551531x_{54} = -93.8751300551531
x55=34.180334736251x_{55} = 34.180334736251
x56=72.149231649514x_{56} = 72.149231649514
x57=40.8823796625843x_{57} = 40.8823796625843
x58=44.1714636888782x_{58} = 44.1714636888782
x59=−63.9715214703306x_{59} = -63.9715214703306
x60=88.0541893615554x_{60} = 88.0541893615554
x61=−11.1335069563894x_{61} = -11.1335069563894
x62=−144.278990826539x_{62} = -144.278990826539
x63=14.1236546697939x_{63} = 14.1236546697939
x64=79.5498436936475x_{64} = 79.5498436936475
x65=70.6649890484935x_{65} = 70.6649890484935
x66=−73.3090215442848x_{66} = -73.3090215442848
x67=−91.7030353112845x_{67} = -91.7030353112845
x68=6.12724857598258x_{68} = 6.12724857598258
x69=41.8433961298881x_{69} = 41.8433961298881
x70=−58.6341071078734x_{70} = -58.6341071078734
x71=−70.3999171067475x_{71} = -70.3999171067475
x72=66.2501444206745x_{72} = 66.2501444206745
x73=100.106222697362x_{73} = 100.106222697362
x74=80.1831773519667x_{74} = 80.1831773519667
x75=−31.7508475599979x_{75} = -31.7508475599979
x76=90.3387529247383x_{76} = 90.3387529247383
x77=97.9056456979839x_{77} = 97.9056456979839
x78=−35.9143117443526x_{78} = -35.9143117443526
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x^2 - x).
sin⁡(02−0)\sin{\left(0^{2} - 0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(2x−1)cos⁡(x2−x)=0\left(2 x - 1\right) \cos{\left(x^{2} - x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(1/2, -sin(1/4))


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[12,∞)\left[\frac{1}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,12]\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(2x−1)2sin⁡(x(x−1))+2cos⁡(x(x−1))=0- \left(2 x - 1\right)^{2} \sin{\left(x \left(x - 1\right) \right)} + 2 \cos{\left(x \left(x - 1\right) \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡(x2−x)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(x^{2} - x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡(x2−x)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \sin{\left(x^{2} - x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x^2 - x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x2−x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x^{2} - x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x2−x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x^{2} - x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x2−x)=sin⁡(x2+x)\sin{\left(x^{2} - x \right)} = \sin{\left(x^{2} + x \right)}
- No
sin⁡(x2−x)=−sin⁡(x2+x)\sin{\left(x^{2} - x \right)} = - \sin{\left(x^{2} + x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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