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Trazado el gráfico de la función/ arctgx-ln(1+x^2)

Gráfico de la función y = arctgx-ln(1+x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                    /     2\
f(x) = acot(x) - log\1 + x /
f(x)=−log⁡(x2+1)+acot⁡(x)f{\left(x \right)} = - \log{\left(x^{2} + 1 \right)} + \operatorname{acot}{\left(x \right)} 
f = -log(x^2 + 1) + acot(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−log⁡(x2+1)+acot⁡(x)=0- \log{\left(x^{2} + 1 \right)} + \operatorname{acot}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=1.06215670741054x_{1} = 1.06215670741054
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acot(x) - log(1 + x^2).
−log⁡(02+1)+acot⁡(0)- \log{\left(0^{2} + 1 \right)} + \operatorname{acot}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=π2f{\left(0 \right)} = \frac{\pi}{2}
Punto:
(0, pi/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2xx2+1−1x2+1=0- \frac{2 x}{x^{2} + 1} - \frac{1}{x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(-1/2, -acot(1/2) - log(5/4))


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−12]\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right]
Crece en los intervalos
[−12,∞)\left[- \frac{1}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(2x2x2+1+xx2+1−1)x2+1=0\frac{2 \left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{x}{x^{2} + 1} - 1\right)}{x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−12+52x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}
x2=−52−12x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−52−12]∪[−12+52,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}\right] \cup \left[- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−52−12,−12+52]\left[- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−log⁡(x2+1)+acot⁡(x))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(- \log{\left(x^{2} + 1 \right)} + \operatorname{acot}{\left(x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−log⁡(x2+1)+acot⁡(x))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- \log{\left(x^{2} + 1 \right)} + \operatorname{acot}{\left(x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acot(x) - log(1 + x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−log⁡(x2+1)+acot⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \log{\left(x^{2} + 1 \right)} + \operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−log⁡(x2+1)+acot⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \log{\left(x^{2} + 1 \right)} + \operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−log⁡(x2+1)+acot⁡(x)=−log⁡(x2+1)−acot⁡(x)- \log{\left(x^{2} + 1 \right)} + \operatorname{acot}{\left(x \right)} = - \log{\left(x^{2} + 1 \right)} - \operatorname{acot}{\left(x \right)}
- No
−log⁡(x2+1)+acot⁡(x)=log⁡(x2+1)+acot⁡(x)- \log{\left(x^{2} + 1 \right)} + \operatorname{acot}{\left(x \right)} = \log{\left(x^{2} + 1 \right)} + \operatorname{acot}{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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