Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x-3)^2
-
x^2+x+1
-
x^3-3*x^2+4
-
(x^2+4)/x
-
Expresiones idénticas
- sinx+(uno / tres)sin3x
- seno de x más (1 dividir por 3) seno de 3x
- seno de x más (uno dividir por tres) seno de 3x
- sinx+1/3sin3x
- sinx+(1 dividir por 3)sin3x
-
Expresiones semejantes
- sin(x)+1/3*sin(3*x)
- sinx-(1/3)sin3x
- sin(x)+(1/3)*sin(3x)
- sinx+1/3*sin3x
-
Expresiones con funciones
- sinx
- sinx(x^2+3)
- sinx+tgx
- sinx-x+1
- sinx*ctgx
- sinx-cosx^2
Gráfico de la función y = sinx+(1/3)sin3x
Solución
Ha introducido
[src]
sin(3*x)
f(x) = sin(x) + --------
3
$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$$
f = sin(x) + sin(3*x)/3
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = 59.6902604182061$$
$$x_{2} = -15.707963267949$$
$$x_{3} = -25.1327412287183$$
$$x_{4} = 0$$
$$x_{5} = -75.398223686155$$
$$x_{6} = -50.2654824574367$$
$$x_{7} = 81.6814089933346$$
$$x_{8} = -72.2566310325652$$
$$x_{9} = 91.106186954104$$
$$x_{10} = 50.2654824574367$$
$$x_{11} = -43.9822971502571$$
$$x_{12} = -37.6991118430775$$
$$x_{13} = 25.1327412287183$$
$$x_{14} = -65.9734457253857$$
$$x_{15} = -53.4070751110265$$
$$x_{16} = -59.6902604182061$$
$$x_{17} = 15.707963267949$$
$$x_{18} = 18.8495559215388$$
$$x_{19} = -6.28318530717959$$
$$x_{20} = 12.5663706143592$$
$$x_{21} = 56.5486677646163$$
$$x_{22} = -2544.69004940773$$
$$x_{23} = -21.9911485751286$$
$$x_{24} = 6.28318530717959$$
$$x_{25} = -380.132711084365$$
$$x_{26} = 72.2566310325652$$
$$x_{27} = -78.5398163397448$$
$$x_{28} = 37.6991118430775$$
$$x_{29} = 21.9911485751286$$
$$x_{30} = 47.1238898038469$$
$$x_{31} = 34.5575191894877$$
$$x_{32} = -97.3893722612836$$
$$x_{33} = 100.530964914873$$
$$x_{34} = 254.469004940773$$
$$x_{35} = 28.2743338823081$$
$$x_{36} = 94.2477796076938$$
$$x_{37} = -40.8407044966673$$
$$x_{38} = -28.2743338823081$$
$$x_{39} = 78.5398163397448$$
$$x_{40} = -94.2477796076938$$
$$x_{41} = 43.9822971502571$$
$$x_{42} = 87.9645943005142$$
$$x_{43} = -103.672557568463$$
$$x_{44} = -81.6814089933346$$
$$x_{45} = -87.9645943005142$$
$$x_{46} = 65.9734457253857$$
$$x_{47} = -9.42477796076938$$
$$x_{48} = -31.4159265358979$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = 59.6902604182061$$
$$x_{2} = -15.707963267949$$
$$x_{3} = -25.1327412287183$$
$$x_{4} = 0$$
$$x_{5} = -75.398223686155$$
$$x_{6} = -50.2654824574367$$
$$x_{7} = 81.6814089933346$$
$$x_{8} = -72.2566310325652$$
$$x_{9} = 91.106186954104$$
$$x_{10} = 50.2654824574367$$
$$x_{11} = -43.9822971502571$$
$$x_{12} = -37.6991118430775$$
$$x_{13} = 25.1327412287183$$
$$x_{14} = -65.9734457253857$$
$$x_{15} = -53.4070751110265$$
$$x_{16} = -59.6902604182061$$
$$x_{17} = 15.707963267949$$
$$x_{18} = 18.8495559215388$$
$$x_{19} = -6.28318530717959$$
$$x_{20} = 12.5663706143592$$
$$x_{21} = 56.5486677646163$$
$$x_{22} = -2544.69004940773$$
$$x_{23} = -21.9911485751286$$
$$x_{24} = 6.28318530717959$$
$$x_{25} = -380.132711084365$$
$$x_{26} = 72.2566310325652$$
$$x_{27} = -78.5398163397448$$
$$x_{28} = 37.6991118430775$$
$$x_{29} = 21.9911485751286$$
$$x_{30} = 47.1238898038469$$
$$x_{31} = 34.5575191894877$$
$$x_{32} = -97.3893722612836$$
$$x_{33} = 100.530964914873$$
$$x_{34} = 254.469004940773$$
$$x_{35} = 28.2743338823081$$
$$x_{36} = 94.2477796076938$$
$$x_{37} = -40.8407044966673$$
$$x_{38} = -28.2743338823081$$
$$x_{39} = 78.5398163397448$$
$$x_{40} = -94.2477796076938$$
$$x_{41} = 43.9822971502571$$
$$x_{42} = 87.9645943005142$$
$$x_{43} = -103.672557568463$$
$$x_{44} = -81.6814089933346$$
$$x_{45} = -87.9645943005142$$
$$x_{46} = 65.9734457253857$$
$$x_{47} = -9.42477796076938$$
$$x_{48} = -31.4159265358979$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{6} = \frac{3 \pi}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{3} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{4}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{3 \pi}{4}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{6} = \frac{3 \pi}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
___ -3*pi -2*\/ 2 (-----, --------) 4 3
-pi (----, -2/3) 2
___ -pi -2*\/ 2 (----, --------) 4 3
___ pi 2*\/ 2 (--, -------) 4 3
pi (--, 2/3) 2
___ 3*pi 2*\/ 2 (----, -------) 4 3
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{3} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{4}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{3 \pi}{4}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- (\sin{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(3 x \right)}) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-2 - \sqrt{5} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-2 + \sqrt{5} i \right)}\right)}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\pi, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2}\right] \cup \left[0, - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- (\sin{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(3 x \right)}) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-2 - \sqrt{5} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-2 + \sqrt{5} i \right)}\right)}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\pi, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2}\right] \cup \left[0, - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}\right) = \left\langle - \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle - \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}\right) = \left\langle - \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle - \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}\right) = \left\langle - \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle - \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}\right) = \left\langle - \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle - \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x) + sin(3*x)/3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} = - \sin{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$$
- No
$$\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} = \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} = - \sin{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$$
- No
$$\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} = \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar