Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sinx/2*sin2x

Gráfico de la función y = sinx/2*sin2x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       sin(x)         
f(x) = ------*sin(2*x)
         2
f(x)=sin⁡(x)2sin⁡(2x)f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} \sin{\left(2 x \right)} 
f = (sin(x)/2)*sin(2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10101.0-1.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x)2sin⁡(2x)=0\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} \sin{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=94.2477792514877x_{1} = 94.2477792514877
x2=75.3982236793524x_{2} = 75.3982236793524
x3=−37.6991118769198x_{3} = -37.6991118769198
x4=−65.9734457652028x_{4} = -65.9734457652028
x5=−14.1371669411541x_{5} = -14.1371669411541
x6=9.42477801500462x_{6} = 9.42477801500462
x7=50.2654824463642x_{7} = 50.2654824463642
x8=34.5575190494922x_{8} = 34.5575190494922
x9=−1.5707963267949x_{9} = -1.5707963267949
x10=37.6991119937168x_{10} = 37.6991119937168
x11=84.8230015887783x_{11} = 84.8230015887783
x12=73.8274273593601x_{12} = 73.8274273593601
x13=−69.1150382393654x_{13} = -69.1150382393654
x14=87.964594335453x_{14} = 87.964594335453
x15=−95.8185759344887x_{15} = -95.8185759344887
x16=−21.9911486312213x_{16} = -21.9911486312213
x17=−72.2566308917313x_{17} = -72.2566308917313
x18=−91.1061867632284x_{18} = -91.1061867632284
x19=20.4203522483337x_{19} = 20.4203522483337
x20=−15.7079632963762x_{20} = -15.7079632963762
x21=−43.982296876345x_{21} = -43.982296876345
x22=36.1283155162826x_{22} = 36.1283155162826
x23=−47.1238897080294x_{23} = -47.1238897080294
x24=58.1194640914112x_{24} = 58.1194640914112
x25=−29.845130209103x_{25} = -29.845130209103
x26=6.28318528433976x_{26} = 6.28318528433976
x27=−25.1327411700478x_{27} = -25.1327411700478
x28=78.5398162040055x_{28} = 78.5398162040055
x29=−81.6814090375457x_{29} = -81.6814090375457
x30=−75.398223834204x_{30} = -75.398223834204
x31=−59.6902604573056x_{31} = -59.6902604573056
x32=7.85398163397448x_{32} = 7.85398163397448
x33=−34.5575191076725x_{33} = -34.5575191076725
x34=0x_{34} = 0
x35=−97.389372410446x_{35} = -97.389372410446
x36=−28.2743337371269x_{36} = -28.2743337371269
x37=51.8362787842316x_{37} = 51.8362787842316
x38=31.4159265728873x_{38} = 31.4159265728873
x39=−6.28318516003462x_{39} = -6.28318516003462
x40=80.1106126665397x_{40} = 80.1106126665397
x41=50.2654819973737x_{41} = 50.2654819973737
x42=21.9911485851767x_{42} = 21.9911485851767
x43=12.5663704724455x_{43} = 12.5663704724455
x44=−207.34511550934x_{44} = -207.34511550934
x45=43.9822971001043x_{45} = 43.9822971001043
x46=18.8495559220487x_{46} = 18.8495559220487
x47=62.8318530302311x_{47} = 62.8318530302311
x48=59.6902605703693x_{48} = 59.6902605703693
x49=14.1371669411541x_{49} = 14.1371669411541
x50=9.42477806710815x_{50} = 9.42477806710815
x51=−67.5442420521806x_{51} = -67.5442420521806
x52=−21.9911485864718x_{52} = -21.9911485864718
x53=−43.9822971746609x_{53} = -43.9822971746609
x54=42.4115008234622x_{54} = 42.4115008234622
x55=94.2477796093527x_{55} = 94.2477796093527
x56=−31.4159266812001x_{56} = -31.4159266812001
x57=−45.553093477052x_{57} = -45.553093477052
x58=65.9734457527245x_{58} = 65.9734457527245
x59=81.6814091468681x_{59} = 81.6814091468681
x60=−53.407075257786x_{60} = -53.407075257786
x61=−58.1194640914112x_{61} = -58.1194640914112
x62=40.8407044744738x_{62} = 40.8407044744738
x63=53.4070751278617x_{63} = 53.4070751278617
x64=−78.5398162373076x_{64} = -78.5398162373076
x65=−12.5663705453118x_{65} = -12.5663705453118
x66=−100.530964804106x_{66} = -100.530964804106
x67=65.9734451192804x_{67} = 65.9734451192804
x68=95.8185759344887x_{68} = 95.8185759344887
x69=−87.9645943590963x_{69} = -87.9645943590963
x70=−3.14159262638665x_{70} = -3.14159262638665
x71=−36.1283155162826x_{71} = -36.1283155162826
x72=15.7079634169143x_{72} = 15.7079634169143
x73=43.9822971693493x_{73} = 43.9822971693493
x74=−94.2477794692392x_{74} = -94.2477794692392
x75=−51.8362787842316x_{75} = -51.8362787842316
x76=28.2743338652459x_{76} = 28.2743338652459
x77=−89.5353906273091x_{77} = -89.5353906273091
x78=−50.2654823143599x_{78} = -50.2654823143599
x79=91.1061875857656x_{79} = 91.1061875857656
x80=100.530964781462x_{80} = 100.530964781462
x81=−73.8274273593601x_{81} = -73.8274273593601
x82=29.845130209103x_{82} = 29.845130209103
x83=86.3937979737193x_{83} = 86.3937979737193
x84=64.4026493985908x_{84} = 64.4026493985908
x85=56.5486676266806x_{85} = 56.5486676266806
x86=−23.5619449019235x_{86} = -23.5619449019235
x87=97.38937222667x_{87} = 97.38937222667
x88=−56.5486676717583x_{88} = -56.5486676717583
x89=−28.2743341715057x_{89} = -28.2743341715057
x90=−65.9734453602046x_{90} = -65.9734453602046
x91=72.2566310277219x_{91} = 72.2566310277219
x92=−80.1106126665397x_{92} = -80.1106126665397
x93=−7.85398163397448x_{93} = -7.85398163397448
x94=−9.42477810445402x_{94} = -9.42477810445402
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (sin(x)/2)*sin(2*x).
sin⁡(0)2sin⁡(0⋅2)\frac{\sin{\left(0 \right)}}{2} \sin{\left(0 \cdot 2 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sin⁡(x)cos⁡(2x)+sin⁡(2x)cos⁡(x)2=0\sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
x3=i(log⁡(3)−log⁡(−1−22i))2x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-1 - 2 \sqrt{2} i \right)}\right)}{2}
x4=i(log⁡(3)−log⁡(−1+22i))2x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-1 + 2 \sqrt{2} i \right)}\right)}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

(pi, 0)

                                                                                /  /     /           ___\         \\ 
                                        /  /     /           ___\         \\    |I*\- log\-1 - 2*I*\/ 2 / + log(3)/| 
   /     /           ___\         \  sin\I*\- log\-1 - 2*I*\/ 2 / + log(3)//*sin|----------------------------------| 
 I*\- log\-1 - 2*I*\/ 2 / + log(3)/                                             \                2                 / 
(----------------------------------, -------------------------------------------------------------------------------)
                 2                                                          2                                        

                                                                                /  /     /           ___\         \\ 
                                        /  /     /           ___\         \\    |I*\- log\-1 + 2*I*\/ 2 / + log(3)/| 
   /     /           ___\         \  sin\I*\- log\-1 + 2*I*\/ 2 / + log(3)//*sin|----------------------------------| 
 I*\- log\-1 + 2*I*\/ 2 / + log(3)/                                             \                2                 / 
(----------------------------------, -------------------------------------------------------------------------------)
                 2                                                          2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
x1=−π2+atan⁡(22)2x_{1} = - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}}{2}
x1=−atan⁡(22)2+π2x_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−π2+atan⁡(22)2]∪[0,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}}{2}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)2sin⁡(2x))=⟨−12,12⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} \sin{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−12,12⟩y = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(x)2sin⁡(2x))=⟨−12,12⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} \sin{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−12,12⟩y = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (sin(x)/2)*sin(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)sin⁡(2x)2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}}{2 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x)sin⁡(2x)2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}}{2 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x)2sin⁡(2x)=sin⁡(x)sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} \sin{\left(2 x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}}{2}
- No
sin⁡(x)2sin⁡(2x)=−sin⁡(x)sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} \sin{\left(2 x \right)} = - \frac{\sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}}{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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