Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^2+x+1
-
y=x^3-3x^2+4
-
e^x/x
-
5-x
-
Expresiones idénticas
- sinx/ dos *sin2x
- seno de x dividir por 2 multiplicar por seno de 2x
- seno de x dividir por dos multiplicar por seno de 2x
- sinx/2sin2x
- sinx dividir por 2*sin2x
-
Expresiones con funciones
- sinx
- sinx/(sin(x+pi/4))
- sinx+cos^(2)x
- sinx^3+cosx^3
- sinx-ln(e,sin(x))
- sinx+(1/3)sin3x
Gráfico de la función y = sinx/2*sin2x
Solución
Ha introducido
[src]
sin(x)
f(x) = ------*sin(2*x)
2
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} \sin{\left(2 x \right)}$$
f = (sin(x)/2)*sin(2*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 94.2477792514877$$
$$x_{2} = 75.3982236793524$$
$$x_{3} = -37.6991118769198$$
$$x_{4} = -65.9734457652028$$
$$x_{5} = -14.1371669411541$$
$$x_{6} = 9.42477801500462$$
$$x_{7} = 50.2654824463642$$
$$x_{8} = 34.5575190494922$$
$$x_{9} = -1.5707963267949$$
$$x_{10} = 37.6991119937168$$
$$x_{11} = 84.8230015887783$$
$$x_{12} = 73.8274273593601$$
$$x_{13} = -69.1150382393654$$
$$x_{14} = 87.964594335453$$
$$x_{15} = -95.8185759344887$$
$$x_{16} = -21.9911486312213$$
$$x_{17} = -72.2566308917313$$
$$x_{18} = -91.1061867632284$$
$$x_{19} = 20.4203522483337$$
$$x_{20} = -15.7079632963762$$
$$x_{21} = -43.982296876345$$
$$x_{22} = 36.1283155162826$$
$$x_{23} = -47.1238897080294$$
$$x_{24} = 58.1194640914112$$
$$x_{25} = -29.845130209103$$
$$x_{26} = 6.28318528433976$$
$$x_{27} = -25.1327411700478$$
$$x_{28} = 78.5398162040055$$
$$x_{29} = -81.6814090375457$$
$$x_{30} = -75.398223834204$$
$$x_{31} = -59.6902604573056$$
$$x_{32} = 7.85398163397448$$
$$x_{33} = -34.5575191076725$$
$$x_{34} = 0$$
$$x_{35} = -97.389372410446$$
$$x_{36} = -28.2743337371269$$
$$x_{37} = 51.8362787842316$$
$$x_{38} = 31.4159265728873$$
$$x_{39} = -6.28318516003462$$
$$x_{40} = 80.1106126665397$$
$$x_{41} = 50.2654819973737$$
$$x_{42} = 21.9911485851767$$
$$x_{43} = 12.5663704724455$$
$$x_{44} = -207.34511550934$$
$$x_{45} = 43.9822971001043$$
$$x_{46} = 18.8495559220487$$
$$x_{47} = 62.8318530302311$$
$$x_{48} = 59.6902605703693$$
$$x_{49} = 14.1371669411541$$
$$x_{50} = 9.42477806710815$$
$$x_{51} = -67.5442420521806$$
$$x_{52} = -21.9911485864718$$
$$x_{53} = -43.9822971746609$$
$$x_{54} = 42.4115008234622$$
$$x_{55} = 94.2477796093527$$
$$x_{56} = -31.4159266812001$$
$$x_{57} = -45.553093477052$$
$$x_{58} = 65.9734457527245$$
$$x_{59} = 81.6814091468681$$
$$x_{60} = -53.407075257786$$
$$x_{61} = -58.1194640914112$$
$$x_{62} = 40.8407044744738$$
$$x_{63} = 53.4070751278617$$
$$x_{64} = -78.5398162373076$$
$$x_{65} = -12.5663705453118$$
$$x_{66} = -100.530964804106$$
$$x_{67} = 65.9734451192804$$
$$x_{68} = 95.8185759344887$$
$$x_{69} = -87.9645943590963$$
$$x_{70} = -3.14159262638665$$
$$x_{71} = -36.1283155162826$$
$$x_{72} = 15.7079634169143$$
$$x_{73} = 43.9822971693493$$
$$x_{74} = -94.2477794692392$$
$$x_{75} = -51.8362787842316$$
$$x_{76} = 28.2743338652459$$
$$x_{77} = -89.5353906273091$$
$$x_{78} = -50.2654823143599$$
$$x_{79} = 91.1061875857656$$
$$x_{80} = 100.530964781462$$
$$x_{81} = -73.8274273593601$$
$$x_{82} = 29.845130209103$$
$$x_{83} = 86.3937979737193$$
$$x_{84} = 64.4026493985908$$
$$x_{85} = 56.5486676266806$$
$$x_{86} = -23.5619449019235$$
$$x_{87} = 97.38937222667$$
$$x_{88} = -56.5486676717583$$
$$x_{89} = -28.2743341715057$$
$$x_{90} = -65.9734453602046$$
$$x_{91} = 72.2566310277219$$
$$x_{92} = -80.1106126665397$$
$$x_{93} = -7.85398163397448$$
$$x_{94} = -9.42477810445402$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 94.2477792514877$$
$$x_{2} = 75.3982236793524$$
$$x_{3} = -37.6991118769198$$
$$x_{4} = -65.9734457652028$$
$$x_{5} = -14.1371669411541$$
$$x_{6} = 9.42477801500462$$
$$x_{7} = 50.2654824463642$$
$$x_{8} = 34.5575190494922$$
$$x_{9} = -1.5707963267949$$
$$x_{10} = 37.6991119937168$$
$$x_{11} = 84.8230015887783$$
$$x_{12} = 73.8274273593601$$
$$x_{13} = -69.1150382393654$$
$$x_{14} = 87.964594335453$$
$$x_{15} = -95.8185759344887$$
$$x_{16} = -21.9911486312213$$
$$x_{17} = -72.2566308917313$$
$$x_{18} = -91.1061867632284$$
$$x_{19} = 20.4203522483337$$
$$x_{20} = -15.7079632963762$$
$$x_{21} = -43.982296876345$$
$$x_{22} = 36.1283155162826$$
$$x_{23} = -47.1238897080294$$
$$x_{24} = 58.1194640914112$$
$$x_{25} = -29.845130209103$$
$$x_{26} = 6.28318528433976$$
$$x_{27} = -25.1327411700478$$
$$x_{28} = 78.5398162040055$$
$$x_{29} = -81.6814090375457$$
$$x_{30} = -75.398223834204$$
$$x_{31} = -59.6902604573056$$
$$x_{32} = 7.85398163397448$$
$$x_{33} = -34.5575191076725$$
$$x_{34} = 0$$
$$x_{35} = -97.389372410446$$
$$x_{36} = -28.2743337371269$$
$$x_{37} = 51.8362787842316$$
$$x_{38} = 31.4159265728873$$
$$x_{39} = -6.28318516003462$$
$$x_{40} = 80.1106126665397$$
$$x_{41} = 50.2654819973737$$
$$x_{42} = 21.9911485851767$$
$$x_{43} = 12.5663704724455$$
$$x_{44} = -207.34511550934$$
$$x_{45} = 43.9822971001043$$
$$x_{46} = 18.8495559220487$$
$$x_{47} = 62.8318530302311$$
$$x_{48} = 59.6902605703693$$
$$x_{49} = 14.1371669411541$$
$$x_{50} = 9.42477806710815$$
$$x_{51} = -67.5442420521806$$
$$x_{52} = -21.9911485864718$$
$$x_{53} = -43.9822971746609$$
$$x_{54} = 42.4115008234622$$
$$x_{55} = 94.2477796093527$$
$$x_{56} = -31.4159266812001$$
$$x_{57} = -45.553093477052$$
$$x_{58} = 65.9734457527245$$
$$x_{59} = 81.6814091468681$$
$$x_{60} = -53.407075257786$$
$$x_{61} = -58.1194640914112$$
$$x_{62} = 40.8407044744738$$
$$x_{63} = 53.4070751278617$$
$$x_{64} = -78.5398162373076$$
$$x_{65} = -12.5663705453118$$
$$x_{66} = -100.530964804106$$
$$x_{67} = 65.9734451192804$$
$$x_{68} = 95.8185759344887$$
$$x_{69} = -87.9645943590963$$
$$x_{70} = -3.14159262638665$$
$$x_{71} = -36.1283155162826$$
$$x_{72} = 15.7079634169143$$
$$x_{73} = 43.9822971693493$$
$$x_{74} = -94.2477794692392$$
$$x_{75} = -51.8362787842316$$
$$x_{76} = 28.2743338652459$$
$$x_{77} = -89.5353906273091$$
$$x_{78} = -50.2654823143599$$
$$x_{79} = 91.1061875857656$$
$$x_{80} = 100.530964781462$$
$$x_{81} = -73.8274273593601$$
$$x_{82} = 29.845130209103$$
$$x_{83} = 86.3937979737193$$
$$x_{84} = 64.4026493985908$$
$$x_{85} = 56.5486676266806$$
$$x_{86} = -23.5619449019235$$
$$x_{87} = 97.38937222667$$
$$x_{88} = -56.5486676717583$$
$$x_{89} = -28.2743341715057$$
$$x_{90} = -65.9734453602046$$
$$x_{91} = 72.2566310277219$$
$$x_{92} = -80.1106126665397$$
$$x_{93} = -7.85398163397448$$
$$x_{94} = -9.42477810445402$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-1 - 2 \sqrt{2} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-1 + 2 \sqrt{2} i \right)}\right)}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \pi$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}}{2}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-1 - 2 \sqrt{2} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-1 + 2 \sqrt{2} i \right)}\right)}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
(pi, 0)
/ / / ___\ \\
/ / / ___\ \\ |I*\- log\-1 - 2*I*\/ 2 / + log(3)/|
/ / ___\ \ sin\I*\- log\-1 - 2*I*\/ 2 / + log(3)//*sin|----------------------------------|
I*\- log\-1 - 2*I*\/ 2 / + log(3)/ \ 2 /
(----------------------------------, -------------------------------------------------------------------------------)
2 2 / / / ___\ \\
/ / / ___\ \\ |I*\- log\-1 + 2*I*\/ 2 / + log(3)/|
/ / ___\ \ sin\I*\- log\-1 + 2*I*\/ 2 / + log(3)//*sin|----------------------------------|
I*\- log\-1 + 2*I*\/ 2 / + log(3)/ \ 2 /
(----------------------------------, -------------------------------------------------------------------------------)
2 2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \pi$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}}{2}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} \sin{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} \sin{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} \sin{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} \sin{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (sin(x)/2)*sin(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}}{2 x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}}{2 x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}}{2 x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}}{2 x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} \sin{\left(2 x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}}{2}$$
- No
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} \sin{\left(2 x \right)} = - \frac{\sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}}{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} \sin{\left(2 x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}}{2}$$
- No
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} \sin{\left(2 x \right)} = - \frac{\sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}}{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar