Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sinx+1/3sin3x

Gráfico de la función y = sinx+1/3sin3x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                sin(3*x)
f(x) = sin(x) + --------
                   3
f(x)=sin⁡(x)+sin⁡(3x)3f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} 
f = sin(x) + sin(3*x)/3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x)+sin⁡(3x)3=0\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Solución numérica
x1=−380.132711084365x_{1} = -380.132711084365
x2=−50.2654824574367x_{2} = -50.2654824574367
x3=−65.9734457253857x_{3} = -65.9734457253857
x4=59.6902604182061x_{4} = 59.6902604182061
x5=72.2566310325652x_{5} = 72.2566310325652
x6=91.106186954104x_{6} = 91.106186954104
x7=254.469004940773x_{7} = 254.469004940773
x8=−6.28318530717959x_{8} = -6.28318530717959
x9=6.28318530717959x_{9} = 6.28318530717959
x10=−25.1327412287183x_{10} = -25.1327412287183
x11=94.2477796076938x_{11} = 94.2477796076938
x12=−9.42477796076938x_{12} = -9.42477796076938
x13=−37.6991118430775x_{13} = -37.6991118430775
x14=65.9734457253857x_{14} = 65.9734457253857
x15=−43.9822971502571x_{15} = -43.9822971502571
x16=25.1327412287183x_{16} = 25.1327412287183
x17=21.9911485751286x_{17} = 21.9911485751286
x18=87.9645943005142x_{18} = 87.9645943005142
x19=−40.8407044966673x_{19} = -40.8407044966673
x20=−97.3893722612836x_{20} = -97.3893722612836
x21=43.9822971502571x_{21} = 43.9822971502571
x22=−53.4070751110265x_{22} = -53.4070751110265
x23=−31.4159265358979x_{23} = -31.4159265358979
x24=−94.2477796076938x_{24} = -94.2477796076938
x25=18.8495559215388x_{25} = 18.8495559215388
x26=78.5398163397448x_{26} = 78.5398163397448
x27=−103.672557568463x_{27} = -103.672557568463
x28=47.1238898038469x_{28} = 47.1238898038469
x29=−2544.69004940773x_{29} = -2544.69004940773
x30=12.5663706143592x_{30} = 12.5663706143592
x31=81.6814089933346x_{31} = 81.6814089933346
x32=34.5575191894877x_{32} = 34.5575191894877
x33=−75.398223686155x_{33} = -75.398223686155
x34=−15.707963267949x_{34} = -15.707963267949
x35=50.2654824574367x_{35} = 50.2654824574367
x36=−81.6814089933346x_{36} = -81.6814089933346
x37=−59.6902604182061x_{37} = -59.6902604182061
x38=−28.2743338823081x_{38} = -28.2743338823081
x39=−87.9645943005142x_{39} = -87.9645943005142
x40=−21.9911485751286x_{40} = -21.9911485751286
x41=56.5486677646163x_{41} = 56.5486677646163
x42=15.707963267949x_{42} = 15.707963267949
x43=−78.5398163397448x_{43} = -78.5398163397448
x44=37.6991118430775x_{44} = 37.6991118430775
x45=−72.2566310325652x_{45} = -72.2566310325652
x46=100.530964914873x_{46} = 100.530964914873
x47=0x_{47} = 0
x48=28.2743338823081x_{48} = 28.2743338823081
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x) + sin(3*x)/3.
sin⁡(0)+sin⁡(0⋅3)3\sin{\left(0 \right)} + \frac{\sin{\left(0 \cdot 3 \right)}}{3}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x)+cos⁡(3x)=0\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3π4x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=−π4x_{3} = - \frac{\pi}{4}
x4=π4x_{4} = \frac{\pi}{4}
x5=π2x_{5} = \frac{\pi}{2}
x6=3π4x_{6} = \frac{3 \pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
             ___ 
 -3*pi  -2*\/ 2  
(-----, --------)
   4       3     

 -pi        
(----, -2/3)
  2         

            ___ 
 -pi   -2*\/ 2  
(----, --------)
  4       3     

         ___ 
 pi  2*\/ 2  
(--, -------)
 4      3    

 pi      
(--, 2/3)
 2       

           ___ 
 3*pi  2*\/ 2  
(----, -------)
  4       3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−3π4x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}
x2=−π4x_{2} = - \frac{\pi}{4}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x3=−π2x_{3} = - \frac{\pi}{2}
x3=π4x_{3} = \frac{\pi}{4}
x3=3π4x_{3} = \frac{3 \pi}{4}
Decrece en los intervalos
[π2,∞)\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−3π4]\left(-\infty, - \frac{3 \pi}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(sin⁡(x)+3sin⁡(3x))=0- (\sin{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(3 x \right)}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
x3=i(log⁡(3)−log⁡(−2−5i))2x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-2 - \sqrt{5} i \right)}\right)}{2}
x4=i(log⁡(3)−log⁡(−2+5i))2x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-2 + \sqrt{5} i \right)}\right)}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π,∞)\left[\pi, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π2+atan⁡(52)2]∪[0,−atan⁡(52)2+π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2}\right] \cup \left[0, - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)+sin⁡(3x)3)=⟨−43,43⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}\right) = \left\langle - \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−43,43⟩y = \left\langle - \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(x)+sin⁡(3x)3)=⟨−43,43⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}\right) = \left\langle - \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−43,43⟩y = \left\langle - \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x) + sin(3*x)/3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)+sin⁡(3x)3x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x)+sin⁡(3x)3x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x)+sin⁡(3x)3=−sin⁡(x)−sin⁡(3x)3\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} = - \sin{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}
- No
sin⁡(x)+sin⁡(3x)3=sin⁡(x)+sin⁡(3x)3\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} = \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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