Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{2 x}{2 x - 5} - \frac{2 \left(x^{2} - 1\right)}{\left(2 x - 5\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ 2\
| / ____\ |
____ | |5 \/ 21 | |
____ -\/ 21 *|-1 + |- - ------| |
5 \/ 21 \ \2 2 / /
(- - ------, -----------------------------)
2 2 21
/ 2\
| / ____\ |
____ | |5 \/ 21 | |
____ \/ 21 *|-1 + |- + ------| |
5 \/ 21 \ \2 2 / /
(- + ------, ---------------------------)
2 2 21
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}, \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}\right]$$