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(x^2-1)/(2x-5)

Gráfico de la función y = (x^2-1)/(2x-5)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
         2    
        x  - 1
f(x) = -------
       2*x - 5
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} - 1}{2 x - 5}$$
f = (x^2 - 1)/(2*x - 5)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 2.5$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{2} - 1}{2 x - 5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 - 1)/(2*x - 5).
$$\frac{-1 + 0^{2}}{-5 + 0 \cdot 2}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{1}{5}$$
Punto:
(0, 1/5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x}{2 x - 5} - \frac{2 \left(x^{2} - 1\right)}{\left(2 x - 5\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
                     /                 2\  
                     |     /      ____\ |  
                ____ |     |5   \/ 21 | |  
       ____  -\/ 21 *|-1 + |- - ------| |  
 5   \/ 21           \     \2     2   / /  
(- - ------, -----------------------------)
 2     2                   21              

                    /                 2\ 
                    |     /      ____\ | 
               ____ |     |5   \/ 21 | | 
       ____  \/ 21 *|-1 + |- + ------| | 
 5   \/ 21          \     \2     2   / / 
(- + ------, ---------------------------)
 2     2                  21             


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}, \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{4 x}{2 x - 5} + 1 + \frac{4 \left(x^{2} - 1\right)}{\left(2 x - 5\right)^{2}}\right)}{2 x - 5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 2.5$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{2 x - 5}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{2 x - 5}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 1)/(2*x - 5), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x \left(2 x - 5\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \frac{x}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x \left(2 x - 5\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \frac{x}{2}$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{2} - 1}{2 x - 5} = \frac{x^{2} - 1}{- 2 x - 5}$$
- No
$$\frac{x^{2} - 1}{2 x - 5} = - \frac{x^{2} - 1}{- 2 x - 5}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x^2-1)/(2x-5)