Sr Examen

Otras calculadoras

(x^2-1)/(2x-5)

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • 5-x 5-x
  • (1-x^3)/x^2 (1-x^3)/x^2
  • x/(x^2-5) x/(x^2-5)
  • 3*x-x^3 3*x-x^3

  • Expresiones idénticas

  • (x^ dos - uno)/(2x- cinco)
  • (x al cuadrado menos 1) dividir por (2x menos 5)
  • (x en el grado dos menos uno) dividir por (2x menos cinco)
  • (x2-1)/(2x-5)
  • x2-1/2x-5
  • (x²-1)/(2x-5)
  • (x en el grado 2-1)/(2x-5)
  • x^2-1/2x-5
  • (x^2-1) dividir por (2x-5)

  • Expresiones semejantes

  • (x^2-1)/(2x+5)
  • (x^2+1)/(2x-5)
Trazado el gráfico de la función/ (x^2-1)/(2x-5)

Gráfico de la función y = (x^2-1)/(2x-5)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         2    
        x  - 1
f(x) = -------
       2*x - 5
f(x)=x2−12x−5f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} - 1}{2 x - 5} 
f = (x^2 - 1)/(2*x - 5)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=2.5x_{1} = 2.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2−12x−5=0\frac{x^{2} - 1}{2 x - 5} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=−1x_{2} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 - 1)/(2*x - 5).
−1+02−5+0⋅2\frac{-1 + 0^{2}}{-5 + 0 \cdot 2}
Resultado:
f(0)=15f{\left(0 \right)} = \frac{1}{5}
Punto:
(0, 1/5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x2x−5−2(x2−1)(2x−5)2=0\frac{2 x}{2 x - 5} - \frac{2 \left(x^{2} - 1\right)}{\left(2 x - 5\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=52−212x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}
x2=212+52x_{2} = \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}
Signos de extremos en los puntos:
                     /                 2\  
                     |     /      ____\ |  
                ____ |     |5   \/ 21 | |  
       ____  -\/ 21 *|-1 + |- - ------| |  
 5   \/ 21           \     \2     2   / /  
(- - ------, -----------------------------)
 2     2                   21              

                    /                 2\ 
                    |     /      ____\ | 
               ____ |     |5   \/ 21 | | 
       ____  \/ 21 *|-1 + |- + ------| | 
 5   \/ 21          \     \2     2   / / 
(- + ------, ---------------------------)
 2     2                  21


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=212+52x_{1} = \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=52−212x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,52−212]∪[212+52,∞)\left(-\infty, \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[52−212,212+52]\left[\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}, \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−4x2x−5+1+4(x2−1)(2x−5)2)2x−5=0\frac{2 \left(- \frac{4 x}{2 x - 5} + 1 + \frac{4 \left(x^{2} - 1\right)}{\left(2 x - 5\right)^{2}}\right)}{2 x - 5} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=2.5x_{1} = 2.5
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2−12x−5)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{2 x - 5}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2−12x−5)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{2 x - 5}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 1)/(2*x - 5), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2−1x(2x−5))=12\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x \left(2 x - 5\right)}\right) = \frac{1}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=x2y = \frac{x}{2}
lim⁡x→∞(x2−1x(2x−5))=12\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x \left(2 x - 5\right)}\right) = \frac{1}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=x2y = \frac{x}{2}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2−12x−5=x2−1−2x−5\frac{x^{2} - 1}{2 x - 5} = \frac{x^{2} - 1}{- 2 x - 5}
- No
x2−12x−5=−x2−1−2x−5\frac{x^{2} - 1}{2 x - 5} = - \frac{x^{2} - 1}{- 2 x - 5}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x^2-1)/(2x-5)
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