Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^2+2
-
(x^2-5)/(x-3)
-
(x^2-9)/(x^2-4)
-
(x+1)*(x-2)^2
-
Expresiones idénticas
- (x^ dos - uno)/(2x- cinco)
- (x al cuadrado menos 1) dividir por (2x menos 5)
- (x en el grado dos menos uno) dividir por (2x menos cinco)
- (x2-1)/(2x-5)
- x2-1/2x-5
- (x²-1)/(2x-5)
- (x en el grado 2-1)/(2x-5)
- x^2-1/2x-5
- (x^2-1) dividir por (2x-5)
-
Expresiones semejantes
- (x^2+1)/(2x-5)
- (x^2-1)/(2x+5)
Gráfico de la función y = (x^2-1)/(2x-5)
Solución
Ha introducido
[src]
2
x - 1
f(x) = -------
2*x - 5
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} - 1}{2 x - 5}$$
f = (x^2 - 1)/(2*x - 5)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 2.5$$
$$x_{1} = 2.5$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{2} - 1}{2 x - 5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{2} - 1}{2 x - 5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x}{2 x - 5} - \frac{2 \left(x^{2} - 1\right)}{\left(2 x - 5\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}, \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x}{2 x - 5} - \frac{2 \left(x^{2} - 1\right)}{\left(2 x - 5\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ 2\
| / ____\ |
____ | |5 \/ 21 | |
____ -\/ 21 *|-1 + |- - ------| |
5 \/ 21 \ \2 2 / /
(- - ------, -----------------------------)
2 2 21 / 2\
| / ____\ |
____ | |5 \/ 21 | |
____ \/ 21 *|-1 + |- + ------| |
5 \/ 21 \ \2 2 / /
(- + ------, ---------------------------)
2 2 21 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}, \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{4 x}{2 x - 5} + 1 + \frac{4 \left(x^{2} - 1\right)}{\left(2 x - 5\right)^{2}}\right)}{2 x - 5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{4 x}{2 x - 5} + 1 + \frac{4 \left(x^{2} - 1\right)}{\left(2 x - 5\right)^{2}}\right)}{2 x - 5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 2.5$$
$$x_{1} = 2.5$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{2 x - 5}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{2 x - 5}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{2 x - 5}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{2 x - 5}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 1)/(2*x - 5), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x \left(2 x - 5\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \frac{x}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x \left(2 x - 5\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \frac{x}{2}$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x \left(2 x - 5\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \frac{x}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x \left(2 x - 5\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \frac{x}{2}$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{2} - 1}{2 x - 5} = \frac{x^{2} - 1}{- 2 x - 5}$$
- No
$$\frac{x^{2} - 1}{2 x - 5} = - \frac{x^{2} - 1}{- 2 x - 5}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{2} - 1}{2 x - 5} = \frac{x^{2} - 1}{- 2 x - 5}$$
- No
$$\frac{x^{2} - 1}{2 x - 5} = - \frac{x^{2} - 1}{- 2 x - 5}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico