Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
-sqrt(-1+x^2)
-
(e^x)*sin(x)
-
-exp(-2*x)-exp(3*x)
-
-exp(-3*x)-exp(2*x)
-
Expresiones idénticas
- x/((x- uno)*(x+ uno)^ dos)
- x dividir por ((x menos 1) multiplicar por (x más 1) al cuadrado )
- x dividir por ((x menos uno) multiplicar por (x más uno) en el grado dos)
- x/((x-1)*(x+1)2)
- x/x-1*x+12
- x/((x-1)*(x+1)²)
- x/((x-1)*(x+1) en el grado 2)
- x/((x-1)(x+1)^2)
- x/((x-1)(x+1)2)
- x/x-1x+12
- x/x-1x+1^2
- x dividir por ((x-1)*(x+1)^2)
-
Expresiones semejantes
- x/((x+1)*(x+1)^2)
- x/((x-1)*(x-1)^2)
Gráfico de la función y = x/((x-1)*(x+1)^2)
Solución
Ha introducido
[src]
x
f(x) = ----------------
2
(x - 1)*(x + 1)
$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)^{2}}$$
f = x/(((x - 1)*(x + 1)^2))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x \left(- \left(x - 1\right) \left(2 x + 2\right) - \left(x + 1\right)^{2}\right)}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)^{4}} + \frac{1}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x \left(- \left(x - 1\right) \left(2 x + 2\right) - \left(x + 1\right)^{2}\right)}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)^{4}} + \frac{1}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{x \left(\left(3 x - 1\right) \left(\frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}\right) + \frac{2 \left(3 x - 1\right)}{x + 1} - \frac{2 \left(3 x + 1\right)}{x + 1} + \frac{3 x - 1}{x - 1}\right) - 6 x + 2}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{2 + 2 \sqrt{17}}}{3} + \frac{1}{3} + \frac{4}{3 \sqrt[3]{2 + 2 \sqrt{17}}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{x \left(\left(3 x - 1\right) \left(\frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}\right) + \frac{2 \left(3 x - 1\right)}{x + 1} - \frac{2 \left(3 x + 1\right)}{x + 1} + \frac{3 x - 1}{x - 1}\right) - 6 x + 2}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)^{3}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x \left(\left(3 x - 1\right) \left(\frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}\right) + \frac{2 \left(3 x - 1\right)}{x + 1} - \frac{2 \left(3 x + 1\right)}{x + 1} + \frac{3 x - 1}{x - 1}\right) - 6 x + 2}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)^{3}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x \left(\left(3 x - 1\right) \left(\frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}\right) + \frac{2 \left(3 x - 1\right)}{x + 1} - \frac{2 \left(3 x + 1\right)}{x + 1} + \frac{3 x - 1}{x - 1}\right) - 6 x + 2}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)^{3}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x \left(\left(3 x - 1\right) \left(\frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}\right) + \frac{2 \left(3 x - 1\right)}{x + 1} - \frac{2 \left(3 x + 1\right)}{x + 1} + \frac{3 x - 1}{x - 1}\right) - 6 x + 2}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)^{3}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{2 + 2 \sqrt{17}}}{3} + \frac{1}{3} + \frac{4}{3 \sqrt[3]{2 + 2 \sqrt{17}}}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{2 + 2 \sqrt{17}}}{3} + \frac{1}{3} + \frac{4}{3 \sqrt[3]{2 + 2 \sqrt{17}}}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{x \left(\left(3 x - 1\right) \left(\frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}\right) + \frac{2 \left(3 x - 1\right)}{x + 1} - \frac{2 \left(3 x + 1\right)}{x + 1} + \frac{3 x - 1}{x - 1}\right) - 6 x + 2}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{2 + 2 \sqrt{17}}}{3} + \frac{1}{3} + \frac{4}{3 \sqrt[3]{2 + 2 \sqrt{17}}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{x \left(\left(3 x - 1\right) \left(\frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}\right) + \frac{2 \left(3 x - 1\right)}{x + 1} - \frac{2 \left(3 x + 1\right)}{x + 1} + \frac{3 x - 1}{x - 1}\right) - 6 x + 2}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)^{3}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x \left(\left(3 x - 1\right) \left(\frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}\right) + \frac{2 \left(3 x - 1\right)}{x + 1} - \frac{2 \left(3 x + 1\right)}{x + 1} + \frac{3 x - 1}{x - 1}\right) - 6 x + 2}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)^{3}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x \left(\left(3 x - 1\right) \left(\frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}\right) + \frac{2 \left(3 x - 1\right)}{x + 1} - \frac{2 \left(3 x + 1\right)}{x + 1} + \frac{3 x - 1}{x - 1}\right) - 6 x + 2}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)^{3}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x \left(\left(3 x - 1\right) \left(\frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}\right) + \frac{2 \left(3 x - 1\right)}{x + 1} - \frac{2 \left(3 x + 1\right)}{x + 1} + \frac{3 x - 1}{x - 1}\right) - 6 x + 2}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)^{3}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{2 + 2 \sqrt{17}}}{3} + \frac{1}{3} + \frac{4}{3 \sqrt[3]{2 + 2 \sqrt{17}}}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{2 + 2 \sqrt{17}}}{3} + \frac{1}{3} + \frac{4}{3 \sqrt[3]{2 + 2 \sqrt{17}}}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/(((x - 1)*(x + 1)^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)^{2}} = - \frac{x}{\left(1 - x\right)^{2} \left(- x - 1\right)}$$
- No
$$\frac{x}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)^{2}} = \frac{x}{\left(1 - x\right)^{2} \left(- x - 1\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)^{2}} = - \frac{x}{\left(1 - x\right)^{2} \left(- x - 1\right)}$$
- No
$$\frac{x}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)^{2}} = \frac{x}{\left(1 - x\right)^{2} \left(- x - 1\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar