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3cos2x-2sinx
Trazado el gráfico de la función/ 3cos2x-2sinx

Gráfico de la función y = 3cos2x-2sinx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 3*cos(2*x) - 2*sin(x)
f(x)=−2sin⁡(x)+3cos⁡(2x)f{\left(x \right)} = - 2 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)} 
f = -2*sin(x) + 3*cos(2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−2sin⁡(x)+3cos⁡(2x)=0- 2 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=19.4437202401715x_{1} = 19.4437202401715
x2=41.9450050430702x_{2} = 41.9450050430702
x3=−83.7187011005215x_{3} = -83.7187011005215
x4=−49.671318138804x_{4} = -49.671318138804
x5=−11.9722062957264x_{5} = -11.9722062957264
x6=−87.3704299818815x_{6} = -87.3704299818815
x7=−5.68902098854685x_{7} = -5.68902098854685
x8=−71.1523304861623x_{8} = -71.1523304861623
x9=61.727552525393x_{9} = 61.727552525393
x10=−43.3881328316244x_{10} = -43.3881328316244
x11=−498.408931374374x_{11} = -498.408931374374
x12=−57.6529683110192x_{12} = -57.6529683110192
x13=−16.3021275865817x_{13} = -16.3021275865817
x14=−2.03729210718689x_{14} = -2.03729210718689
x15=−47.7180541224796x_{15} = -47.7180541224796
x16=−18.255391602906x_{16} = -18.255391602906
x17=82.2755733119674x_{17} = 82.2755733119674
x18=126.257870462224x_{18} = 126.257870462224
x19=48.2281903502498x_{19} = 48.2281903502498
x20=33.963354870855x_{20} = 33.963354870855
x21=−77.4355157933419x_{21} = -77.4355157933419
x22=−35.1516835081205x_{22} = -35.1516835081205
x23=55.4443672182134x_{23} = 55.4443672182134
x24=−26.2370417751213x_{24} = -26.2370417751213
x25=−41.4348688153x_{25} = -41.4348688153
x26=−1664.44994208396x_{26} = -1664.44994208396
x27=−91.7003512727367x_{27} = -91.7003512727367
x28=−158.183933225893x_{28} = -158.183933225893
x29=60.794560964609x_{29} = 60.794560964609
x30=−33.4532186430848x_{30} = -33.4532186430848
x31=1315.73315753549x_{31} = 1315.73315753549
x32=69.7092026976082x_{32} = 69.7092026976082
x33=46.5297254852142x_{33} = 46.5297254852142
x34=−63.9361536181988x_{34} = -63.9361536181988
x35=71.6624667139325x_{35} = 71.6624667139325
x36=74.2939231397521x_{36} = 74.2939231397521
x37=−27.1700333359052x_{37} = -27.1700333359052
x38=−76.5025242325579x_{38} = -76.5025242325579
x39=−68.5208740603427x_{39} = -68.5208740603427
x40=75.9923880047878x_{40} = 75.9923880047878
x41=99.4266643684705x_{41} = 99.4266643684705
x42=−81.0872446747019x_{42} = -81.0872446747019
x43=−32.5202270823008x_{43} = -32.5202270823008
x44=96.7952079426509x_{44} = 96.7952079426509
x45=27.6801695636754x_{45} = 27.6801695636754
x46=−10.0189422794021x_{46} = -10.0189422794021
x47=−24.5385769100856x_{47} = -24.5385769100856
x48=0.594164318632732x_{48} = 0.594164318632732
x49=−3.73575697222253x_{49} = -3.73575697222253
x50=−97.9835365799163x_{50} = -97.9835365799163
x51=−70.2193389253784x_{51} = -70.2193389253784
x52=−99.9368005962406x_{52} = -99.9368005962406
x53=10.5290785071723x_{53} = 10.5290785071723
x54=11.4620700679563x_{54} = 11.4620700679563
x55=42.8779966038542x_{55} = 42.8779966038542
x56=2.54742833495706x_{56} = 2.54742833495706
x57=98.4936728076865x_{57} = 98.4936728076865
x58=85.9273021933273x_{58} = 85.9273021933273
x59=4.2458931999927x_{59} = 4.2458931999927
x60=24.0284406823154x_{60} = 24.0284406823154
x61=−366.462039923603x_{61} = -366.462039923603
x62=77.9456520211121x_{62} = 77.9456520211121
x63=−55.9545034459835x_{63} = -55.9545034459835
x64=54.5113756574294x_{64} = 54.5113756574294
x65=32.0100908545307x_{65} = 32.0100908545307
x66=52.8129107923938x_{66} = 52.8129107923938
x67=17.7452553751359x_{67} = 17.7452553751359
x68=−60.2844247368388x_{68} = -60.2844247368388
x69=−54.0012394296592x_{69} = -54.0012394296592
x70=40.2465401780346x_{70} = 40.2465401780346
x71=8.83061364213665x_{71} = 8.83061364213665
x72=−62.2376887531631x_{72} = -62.2376887531631
x73=84.2288373282917x_{73} = 84.2288373282917
x74=16.8122638143519x_{74} = 16.8122638143519
x75=−3065.60026558501x_{75} = -3065.60026558501
x76=−3901.26391143989x_{76} = -3901.26391143989
x77=44.5764614688898x_{77} = 44.5764614688898
x78=63.4260173904286x_{78} = 63.4260173904286
x79=−93.6536152890611x_{79} = -93.6536152890611
x80=38.2932761617103x_{80} = 38.2932761617103
x81=90.5120226354713x_{81} = 90.5120226354713
x82=25.7269055473511x_{82} = 25.7269055473511
x83=30.311625989495x_{83} = 30.311625989495
x84=−85.4171659655571x_{84} = -85.4171659655571
x85=−96.2850717148807x_{85} = -96.2850717148807
x86=−39.7364039502644x_{86} = -39.7364039502644
x87=−13.6706711607621x_{87} = -13.6706711607621
x88=−46.019589257444x_{88} = -46.019589257444
x89=−90.0018864077011x_{89} = -90.0018864077011
x90=92.2104875005069x_{90} = 92.2104875005069
x91=−19.9538564679417x_{91} = -19.9538564679417
x92=88.5587586191469x_{92} = 88.5587586191469
x93=−79.1339806583776x_{93} = -79.1339806583776
x94=68.0107378325725x_{94} = 68.0107378325725
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3*cos(2*x) - 2*sin(x).
−2sin⁡(0)+3cos⁡(0⋅2)- 2 \sin{\left(0 \right)} + 3 \cos{\left(0 \cdot 2 \right)}
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = 3
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−6sin⁡(2x)−2cos⁡(x)=0- 6 \sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=i(log⁡(6)−log⁡(−35−i))x_{3} = i \left(\log{\left(6 \right)} - \log{\left(- \sqrt{35} - i \right)}\right)
x4=i(log⁡(6)−log⁡(35−i))x_{4} = i \left(\log{\left(6 \right)} - \log{\left(\sqrt{35} - i \right)}\right)
Signos de extremos en los puntos:
 -pi      
(----, -1)
  2       

 pi     
(--, -5)
 2      

   /     /       ____\         \         /  /     /       ____\         \\        /    /     /       ____\         \\ 
(I*\- log\-I - \/ 35 / + log(6)/, - 2*sin\I*\- log\-I - \/ 35 / + log(6)// + 3*cos\2*I*\- log\-I - \/ 35 / + log(6)//)

   /     /  ____    \         \         /  /     /  ____    \         \\        /    /     /  ____    \         \\ 
(I*\- log\\/ 35  - I/ + log(6)/, - 2*sin\I*\- log\\/ 35  - I/ + log(6)// + 3*cos\2*I*\- log\\/ 35  - I/ + log(6)//)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x2=−π+atan⁡(3535)x_{2} = - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{35}}{35} \right)}
x2=−atan⁡(3535)x_{2} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{35}}{35} \right)}
Decrece en los intervalos
[π2,∞)\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π2]∪[−atan⁡(3535),π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{35}}{35} \right)}, \frac{\pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(sin⁡(x)−6cos⁡(2x))=02 \left(\sin{\left(x \right)} - 6 \cos{\left(2 x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=i(log⁡(3)−log⁡(−5+2i))x_{1} = i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(- \sqrt{5} + 2 i \right)}\right)
x2=i(log⁡(3)−log⁡(5+2i))x_{2} = i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(\sqrt{5} + 2 i \right)}\right)
x3=−ilog⁡(−74−3i4)x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{7}}{4} - \frac{3 i}{4} \right)}
x4=−ilog⁡(74−3i4)x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{7}}{4} - \frac{3 i}{4} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π+atan⁡(377),−atan⁡(377)]∪[atan⁡(255),∞)\left[- \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{7}}{7} \right)}, - \operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{7}}{7} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π+atan⁡(377)]\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{7}}{7} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−2sin⁡(x)+3cos⁡(2x))=⟨−5,5⟩\lim_{x \to -\infty}\left(- 2 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -5, 5\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−5,5⟩y = \left\langle -5, 5\right\rangle
lim⁡x→∞(−2sin⁡(x)+3cos⁡(2x))=⟨−5,5⟩\lim_{x \to \infty}\left(- 2 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -5, 5\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−5,5⟩y = \left\langle -5, 5\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3*cos(2*x) - 2*sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−2sin⁡(x)+3cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−2sin⁡(x)+3cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−2sin⁡(x)+3cos⁡(2x)=2sin⁡(x)+3cos⁡(2x)- 2 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}
- No
−2sin⁡(x)+3cos⁡(2x)=−2sin⁡(x)−3cos⁡(2x)- 2 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)} = - 2 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(2 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 3cos2x-2sinx
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