Sr Examen

Gráfico de la función y = arctg(-x²+7x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
           /   2      \
f(x) = atan\- x  + 7*x/
$$f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(- x^{2} + 7 x \right)}$$
f = atan(-x^2 + 7*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\operatorname{atan}{\left(- x^{2} + 7 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 7$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 7$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(-x^2 + 7*x).
$$\operatorname{atan}{\left(- 0^{2} + 0 \cdot 7 \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{7 - 2 x}{\left(- x^{2} + 7 x\right)^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{7}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(7/2, atan(49/4))


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{7}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{7}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{7}{2}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{x \left(x - 7\right) \left(2 x - 7\right)^{2}}{x^{2} \left(x - 7\right)^{2} + 1} - 1\right)}{x^{2} \left(x - 7\right)^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{49 + 2 \sqrt{2413}}}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{49 + 2 \sqrt{2413}}}{6} + \frac{7}{2}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3} \sqrt{49 + 2 \sqrt{2413}}}{6} + \frac{7}{2}\right] \cup \left[\frac{7}{2} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{49 + 2 \sqrt{2413}}}{6}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{3} \sqrt{49 + 2 \sqrt{2413}}}{6} + \frac{7}{2}, \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{49 + 2 \sqrt{2413}}}{6}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(- x^{2} + 7 x \right)} = - \frac{\pi}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = - \frac{\pi}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(- x^{2} + 7 x \right)} = - \frac{\pi}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = - \frac{\pi}{2}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(-x^2 + 7*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(- x^{2} + 7 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(- x^{2} + 7 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\operatorname{atan}{\left(- x^{2} + 7 x \right)} = - \operatorname{atan}{\left(x^{2} + 7 x \right)}$$
- No
$$\operatorname{atan}{\left(- x^{2} + 7 x \right)} = \operatorname{atan}{\left(x^{2} + 7 x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = arctg(-x²+7x)