Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(2y^2)

Gráfico de la función y = sqrt(2y^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ______
         /    2 
f(y) = \/  2*y
f(y)=2y2f{\left(y \right)} = \sqrt{2 y^{2}} 
f = sqrt(2*y^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Y con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2y2=0\sqrt{2 y^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Y:

Solución analítica
y1=0y_{1} = 0
Solución numérica
y1=0y_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando y es igual a 0:
sustituimos y = 0 en sqrt(2*y^2).
2⋅02\sqrt{2 \cdot 0^{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddyf(y)=0\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddyf(y)=\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} =
primera derivada
2∣y∣y=0\frac{\sqrt{2} \left|{y}\right|}{y} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dy2f(y)=0\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dy2f(y)=\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} =
segunda derivada
2(sign⁡(y)−∣y∣y)y=0\frac{\sqrt{2} \left(\operatorname{sign}{\left(y \right)} - \frac{\left|{y}\right|}{y}\right)}{y} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
y1=28y_{1} = 28
y2=−22y_{2} = -22
y3=−54y_{3} = -54
y4=−32y_{4} = -32
y5=−38y_{5} = -38
y6=32y_{6} = 32
y7=82y_{7} = 82
y8=76y_{8} = 76
y9=−58y_{9} = -58
y10=−86y_{10} = -86
y11=−50y_{11} = -50
y12=86y_{12} = 86
y13=80y_{13} = 80
y14=−64y_{14} = -64
y15=−100y_{15} = -100
y16=36y_{16} = 36
y17=−12y_{17} = -12
y18=38y_{18} = 38
y19=−20y_{19} = -20
y20=−8y_{20} = -8
y21=−10y_{21} = -10
y22=−44y_{22} = -44
y23=66y_{23} = 66
y24=−62y_{24} = -62
y25=−46y_{25} = -46
y26=−48y_{26} = -48
y27=50y_{27} = 50
y28=−74y_{28} = -74
y29=4y_{29} = 4
y30=98y_{30} = 98
y31=−2y_{31} = -2
y32=−66y_{32} = -66
y33=2y_{33} = 2
y34=−28y_{34} = -28
y35=78y_{35} = 78
y36=−92y_{36} = -92
y37=20y_{37} = 20
y38=54y_{38} = 54
y39=40y_{39} = 40
y40=−40y_{40} = -40
y41=90y_{41} = 90
y42=74y_{42} = 74
y43=10y_{43} = 10
y44=−76y_{44} = -76
y45=60y_{45} = 60
y46=−18y_{46} = -18
y47=−98y_{47} = -98
y48=−36y_{48} = -36
y49=58y_{49} = 58
y50=−30y_{50} = -30
y51=34y_{51} = 34
y52=18y_{52} = 18
y53=−60y_{53} = -60
y54=70y_{54} = 70
y55=14y_{55} = 14
y56=30y_{56} = 30
y57=24y_{57} = 24
y58=64y_{58} = 64
y59=−84y_{59} = -84
y60=26y_{60} = 26
y61=84y_{61} = 84
y62=52y_{62} = 52
y63=56y_{63} = 56
y64=68y_{64} = 68
y65=44y_{65} = 44
y66=94y_{66} = 94
y67=96y_{67} = 96
y68=−26y_{68} = -26
y69=48y_{69} = 48
y70=−14y_{70} = -14
y71=−78y_{71} = -78
y72=6y_{72} = 6
y73=−90y_{73} = -90
y74=16y_{74} = 16
y75=−82y_{75} = -82
y76=−34y_{76} = -34
y77=92y_{77} = 92
y78=42y_{78} = 42
y79=−4y_{79} = -4
y80=−56y_{80} = -56
y81=72y_{81} = 72
y82=−72y_{82} = -72
y83=−52y_{83} = -52
y84=−16y_{84} = -16
y85=−42y_{85} = -42
y86=−6y_{86} = -6
y87=8y_{87} = 8
y88=−24y_{88} = -24
y89=−68y_{89} = -68
y90=88y_{90} = 88
y91=−94y_{91} = -94
y92=46y_{92} = 46
y93=−88y_{93} = -88
y94=22y_{94} = 22
y95=−96y_{95} = -96
y96=−70y_{96} = -70
y97=−80y_{97} = -80
y98=100y_{98} = 100
y99=12y_{99} = 12
y100=62y_{100} = 62

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−30,30]\left[-30, 30\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−30]∪[30,∞)\left(-\infty, -30\right] \cup \left[30, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con y->+oo y y->-oo
lim⁡y→−∞2y2=∞\lim_{y \to -\infty} \sqrt{2 y^{2}} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡y→∞2y2=∞\lim_{y \to \infty} \sqrt{2 y^{2}} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(2*y^2), dividida por y con y->+oo y y ->-oo
lim⁡y→−∞(2∣y∣y)=−2\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{2} \left|{y}\right|}{y}\right) = - \sqrt{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−2yy = - \sqrt{2} y
lim⁡y→∞(2∣y∣y)=2\lim_{y \to \infty}\left(\frac{\sqrt{2} \left|{y}\right|}{y}\right) = \sqrt{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=2yy = \sqrt{2} y
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-y) и f = -f(-y).
Pues, comprobamos:
2y2=2y2\sqrt{2 y^{2}} = \sqrt{2 y^{2}}
- Sí
2y2=−2y2\sqrt{2 y^{2}} = - \sqrt{2 y^{2}}
- No
es decir, función
es
par
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