Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ inx/(x-2)-2

Gráfico de la función y = inx/(x-2)-2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       log(x)    
f(x) = ------ - 2
       x - 2
f(x)=−2+log⁡(x)x−2f{\left(x \right)} = -2 + \frac{\log{\left(x \right)}}{x - 2} 
f = -2 + log(x)/(x - 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=2x_{1} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−2+log⁡(x)x−2=0-2 + \frac{\log{\left(x \right)}}{x - 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−W(−2e4)2x_{1} = - \frac{W\left(- \frac{2}{e^{4}}\right)}{2}
x2=−W−1(−2e4)2x_{2} = - \frac{W_{-1}\left(- \frac{2}{e^{4}}\right)}{2}
Solución numérica
x1=0.0190260161037141x_{1} = 0.0190260161037141
x2=2.44754216063762x_{2} = 2.44754216063762
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x)/(x - 2) - 2.
log⁡(0)−2−2\frac{\log{\left(0 \right)}}{-2} - 2
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−log⁡(x)(x−2)2+1x(x−2)=0- \frac{\log{\left(x \right)}}{\left(x - 2\right)^{2}} + \frac{1}{x \left(x - 2\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2log⁡(x)(x−2)2−2x(x−2)−1x2x−2=0\frac{\frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x - 2\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x - 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=32021.8485312361x_{1} = 32021.8485312361
x2=33157.5966083773x_{2} = 33157.5966083773
x3=34291.2660279171x_{3} = 34291.2660279171
x4=42176.6065378353x_{4} = 42176.6065378353
x5=44415.619329713x_{5} = 44415.619329713
x6=29743.6389249571x_{6} = 29743.6389249571
x7=48878.0440358842x_{7} = 48878.0440358842
x8=27455.5500364991x_{8} = 27455.5500364991
x9=56644.1060413689x_{9} = 56644.1060413689
x10=25156.2318133929x_{10} = 25156.2318133929
x11=49990.6618154252x_{11} = 49990.6618154252
x12=53321.9578958258x_{12} = 53321.9578958258
x13=24001.8441668271x_{13} = 24001.8441668271
x14=28600.9066319867x_{14} = 28600.9066319867
x15=26307.3916835902x_{15} = 26307.3916835902
x16=52212.5841572977x_{16} = 52212.5841572977
x17=37680.8158508515x_{17} = 37680.8158508515
x18=55537.6895261803x_{18} = 55537.6895261803
x19=36552.7830628557x_{19} = 36552.7830628557
x20=46649.306437951x_{20} = 46649.306437951
x21=35422.9626334362x_{21} = 35422.9626334362
x22=41054.9709207592x_{22} = 41054.9709207592
x23=51102.163330264x_{23} = 51102.163330264
x24=45533.1039315341x_{24} = 45533.1039315341
x25=39931.8376131618x_{25} = 39931.8376131618
x26=47764.2722655984x_{26} = 47764.2722655984
x27=43296.8041499171x_{27} = 43296.8041499171
x28=38807.1423661755x_{28} = 38807.1423661755
x29=30883.9054427158x_{29} = 30883.9054427158
x30=57749.5929537082x_{30} = 57749.5929537082
x31=54430.3163216977x_{31} = 54430.3163216977
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=2x_{1} = 2

lim⁡x→2−(2log⁡(x)(x−2)2−2x(x−2)−1x2x−2)=−∞\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{\frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x - 2\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x - 2}\right) = -\infty
lim⁡x→2+(2log⁡(x)(x−2)2−2x(x−2)−1x2x−2)=∞\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x - 2\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x - 2}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=2x_{1} = 2
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=2x_{1} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−2+log⁡(x)x−2)=−2\lim_{x \to -\infty}\left(-2 + \frac{\log{\left(x \right)}}{x - 2}\right) = -2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−2y = -2
lim⁡x→∞(−2+log⁡(x)x−2)=−2\lim_{x \to \infty}\left(-2 + \frac{\log{\left(x \right)}}{x - 2}\right) = -2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=−2y = -2
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x)/(x - 2) - 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−2+log⁡(x)x−2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{-2 + \frac{\log{\left(x \right)}}{x - 2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−2+log⁡(x)x−2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-2 + \frac{\log{\left(x \right)}}{x - 2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−2+log⁡(x)x−2=−2+log⁡(−x)−x−2-2 + \frac{\log{\left(x \right)}}{x - 2} = -2 + \frac{\log{\left(- x \right)}}{- x - 2}
- No
−2+log⁡(x)x−2=2−log⁡(−x)−x−2-2 + \frac{\log{\left(x \right)}}{x - 2} = 2 - \frac{\log{\left(- x \right)}}{- x - 2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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