Sr Examen

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ln(sqrt(2)*sin(x))
Trazado el gráfico de la función/ ln(sqrt(2)*sin(x))

Gráfico de la función y = ln(sqrt(2)*sin(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /  ___       \
f(x) = log\\/ 2 *sin(x)/
f(x)=log⁡(2sin⁡(x))f{\left(x \right)} = \log{\left(\sqrt{2} \sin{\left(x \right)} \right)} 
f = log(sqrt(2)*sin(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-10
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(2sin⁡(x))=0\log{\left(\sqrt{2} \sin{\left(x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
x2=3π4x_{2} = \frac{3 \pi}{4}
Solución numérica
x1=−10.2101761241668x_{1} = -10.2101761241668
x2=−36.9137136796801x_{2} = -36.9137136796801
x3=−54.1924732744239x_{3} = -54.1924732744239
x4=96.6039740978861x_{4} = 96.6039740978861
x5=−55.7632696012188x_{5} = -55.7632696012188
x6=65.1880475619882x_{6} = 65.1880475619882
x7=−22.776546738526x_{7} = -22.776546738526
x8=−60.4756585816035x_{8} = -60.4756585816035
x9=57.3340659280137x_{9} = 57.3340659280137
x10=95.0331777710912x_{10} = 95.0331777710912
x11=−79.3252145031423x_{11} = -79.3252145031423
x12=38.484510006475x_{12} = 38.484510006475
x13=−99.7455667514759x_{13} = -99.7455667514759
x14=7.06858347057703x_{14} = 7.06858347057703
x15=27.4889357189107x_{15} = 27.4889357189107
x16=−87.1791961371168x_{16} = -87.1791961371168
x17=82.4668071567321x_{17} = 82.4668071567321
x18=−11.7809724509617x_{18} = -11.7809724509617
x19=−35.3429173528852x_{19} = -35.3429173528852
x20=44.7676953136546x_{20} = 44.7676953136546
x21=76.1836218495525x_{21} = 76.1836218495525
x22=−66.7588438887831x_{22} = -66.7588438887831
x23=−74.6128255227576x_{23} = -74.6128255227576
x24=69.9004365423729x_{24} = 69.9004365423729
x25=−80.8960108299372x_{25} = -80.8960108299372
x26=32.2013246992954x_{26} = 32.2013246992954
x27=71.4712328691678x_{27} = 71.4712328691678
x28=51.0508806208341x_{28} = 51.0508806208341
x29=−16.4933614313464x_{29} = -16.4933614313464
x30=−85.6083998103219x_{30} = -85.6083998103219
x31=−3.92699081698724x_{31} = -3.92699081698724
x32=90.3207887907066x_{32} = 90.3207887907066
x33=−41.6261026600648x_{33} = -41.6261026600648
x34=63.6172512351933x_{34} = 63.6172512351933
x35=−18.0641577581413x_{35} = -18.0641577581413
x36=−62.0464549083984x_{36} = -62.0464549083984
x37=13.3517687777566x_{37} = 13.3517687777566
x38=−47.9092879672443x_{38} = -47.9092879672443
x39=−49.4800842940392x_{39} = -49.4800842940392
x40=−93.4623814442964x_{40} = -93.4623814442964
x41=77.7544181763474x_{41} = 77.7544181763474
x42=−43.1968989868597x_{42} = -43.1968989868597
x43=8.63937979737193x_{43} = 8.63937979737193
x44=14.9225651045515x_{44} = 14.9225651045515
x45=−98.174770424681x_{45} = -98.174770424681
x46=21.2057504117311x_{46} = 21.2057504117311
x47=19.6349540849362x_{47} = 19.6349540849362
x48=0.785398163397448x_{48} = 0.785398163397448
x49=−5.49778714378214x_{49} = -5.49778714378214
x50=−68.329640215578x_{50} = -68.329640215578
x51=84.037603483527x_{51} = 84.037603483527
x52=−73.0420291959627x_{52} = -73.0420291959627
x53=52.621676947629x_{53} = 52.621676947629
x54=33.7721210260903x_{54} = 33.7721210260903
x55=46.3384916404494x_{55} = 46.3384916404494
x56=−91.8915851175014x_{56} = -91.8915851175014
x57=2.35619449019234x_{57} = 2.35619449019234
x58=88.7499924639117x_{58} = 88.7499924639117
x59=25.9181393921158x_{59} = 25.9181393921158
x60=−24.3473430653209x_{60} = -24.3473430653209
x61=40.0553063332699x_{61} = 40.0553063332699
x62=−30.6305283725005x_{62} = -30.6305283725005
x63=101.316363078271x_{63} = 101.316363078271
x64=−29.0597320457056x_{64} = -29.0597320457056
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(sqrt(2)*sin(x)).
log⁡(2sin⁡(0))\log{\left(\sqrt{2} \sin{\left(0 \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x)sin⁡(x)=0\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 pi     /  ___\ 
(--, log\\/ 2 /)
 2              

 3*pi            /  ___\ 
(----, pi*I + log\\/ 2 /)
  2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,π2]\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right]
Crece en los intervalos
[π2,∞)\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(1+cos⁡2(x)sin⁡2(x))=0- (1 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(2sin⁡(x))=log⁡(2⟨−1,1⟩)\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\sqrt{2} \sin{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(\sqrt{2} \left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=log⁡(2⟨−1,1⟩)y = \log{\left(\sqrt{2} \left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
lim⁡x→∞log⁡(2sin⁡(x))=log⁡(2⟨−1,1⟩)\lim_{x \to \infty} \log{\left(\sqrt{2} \sin{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(\sqrt{2} \left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=log⁡(2⟨−1,1⟩)y = \log{\left(\sqrt{2} \left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(sqrt(2)*sin(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(2sin⁡(x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\sqrt{2} \sin{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(2sin⁡(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sqrt{2} \sin{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(2sin⁡(x))=log⁡(−2sin⁡(x))\log{\left(\sqrt{2} \sin{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(- \sqrt{2} \sin{\left(x \right)} \right)}
- No
log⁡(2sin⁡(x))=−log⁡(−2sin⁡(x))\log{\left(\sqrt{2} \sin{\left(x \right)} \right)} = - \log{\left(- \sqrt{2} \sin{\left(x \right)} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = ln(sqrt(2)*sin(x))
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