Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ln(sqrt(2)sin(x+1))

Gráfico de la función y = ln(sqrt(2)sin(x+1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /  ___           \
f(x) = log\\/ 2 *sin(x + 1)/
f(x)=log⁡(2sin⁡(x+1))f{\left(x \right)} = \log{\left(\sqrt{2} \sin{\left(x + 1 \right)} \right)} 
f = log(sqrt(2)*sin(x + 1))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(2sin⁡(x+1))=0\log{\left(\sqrt{2} \sin{\left(x + 1 \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1+π4x_{1} = -1 + \frac{\pi}{4}
x2=−1+3π4x_{2} = -1 + \frac{3 \pi}{4}
Solución numérica
x1=37.484510006475x_{1} = 37.484510006475
x2=−50.4800842940392x_{2} = -50.4800842940392
x3=−48.9092879672443x_{3} = -48.9092879672443
x4=70.4712328691678x_{4} = 70.4712328691678
x5=87.7499924639117x_{5} = 87.7499924639117
x6=32.7721210260903x_{6} = 32.7721210260903
x7=−86.6083998103219x_{7} = -86.6083998103219
x8=−61.4756585816035x_{8} = -61.4756585816035
x9=89.3207887907066x_{9} = 89.3207887907066
x10=68.9004365423729x_{10} = 68.9004365423729
x11=13.9225651045515x_{11} = 13.9225651045515
x12=45.3384916404494x_{12} = 45.3384916404494
x13=31.2013246992954x_{13} = 31.2013246992954
x14=1.35619449019234x_{14} = 1.35619449019234
x15=−74.0420291959627x_{15} = -74.0420291959627
x16=−11.2101761241668x_{16} = -11.2101761241668
x17=12.3517687777566x_{17} = 12.3517687777566
x18=−56.7632696012188x_{18} = -56.7632696012188
x19=43.7676953136546x_{19} = 43.7676953136546
x20=−42.6261026600648x_{20} = -42.6261026600648
x21=−6.49778714378214x_{21} = -6.49778714378214
x22=−69.329640215578x_{22} = -69.329640215578
x23=57.9048622548086x_{23} = 57.9048622548086
x24=95.6039740978861x_{24} = 95.6039740978861
x25=7.63937979737193x_{25} = 7.63937979737193
x26=−80.3252145031423x_{26} = -80.3252145031423
x27=101.887159405066x_{27} = 101.887159405066
x28=−75.6128255227576x_{28} = -75.6128255227576
x29=−37.9137136796801x_{29} = -37.9137136796801
x30=−55.1924732744239x_{30} = -55.1924732744239
x31=83.037603483527x_{31} = 83.037603483527
x32=18.6349540849362x_{32} = 18.6349540849362
x33=100.316363078271x_{33} = 100.316363078271
x34=−36.3429173528852x_{34} = -36.3429173528852
x35=−88.1791961371168x_{35} = -88.1791961371168
x36=−44.1968989868597x_{36} = -44.1968989868597
x37=56.3340659280137x_{37} = 56.3340659280137
x38=−63.0464549083984x_{38} = -63.0464549083984
x39=−12.7809724509617x_{39} = -12.7809724509617
x40=−92.8915851175014x_{40} = -92.8915851175014
x41=6.06858347057703x_{41} = 6.06858347057703
x42=39.0553063332699x_{42} = 39.0553063332699
x43=−17.4933614313464x_{43} = -17.4933614313464
x44=−0.214601836602552x_{44} = -0.214601836602552
x45=−31.6305283725005x_{45} = -31.6305283725005
x46=51.621676947629x_{46} = 51.621676947629
x47=−30.0597320457056x_{47} = -30.0597320457056
x48=75.1836218495525x_{48} = 75.1836218495525
x49=24.9181393921158x_{49} = 24.9181393921158
x50=76.7544181763474x_{50} = 76.7544181763474
x51=−99.174770424681x_{51} = -99.174770424681
x52=−25.3473430653209x_{52} = -25.3473430653209
x53=−81.8960108299372x_{53} = -81.8960108299372
x54=−19.0641577581413x_{54} = -19.0641577581413
x55=81.4668071567321x_{55} = 81.4668071567321
x56=−4.92699081698724x_{56} = -4.92699081698724
x57=26.4889357189107x_{57} = 26.4889357189107
x58=64.1880475619882x_{58} = 64.1880475619882
x59=−94.4623814442964x_{59} = -94.4623814442964
x60=62.6172512351933x_{60} = 62.6172512351933
x61=−67.7588438887831x_{61} = -67.7588438887831
x62=50.0508806208341x_{62} = 50.0508806208341
x63=−23.776546738526x_{63} = -23.776546738526
x64=20.2057504117311x_{64} = 20.2057504117311
x65=94.0331777710912x_{65} = 94.0331777710912
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(sqrt(2)*sin(x + 1)).
log⁡(2sin⁡(1))\log{\left(\sqrt{2} \sin{\left(1 \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=log⁡(2sin⁡(1))f{\left(0 \right)} = \log{\left(\sqrt{2} \sin{\left(1 \right)} \right)}
Punto:
(0, log(sqrt(2)*sin(1)))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x+1)sin⁡(x+1)=0\frac{\cos{\left(x + 1 \right)}}{\sin{\left(x + 1 \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1+π2x_{1} = -1 + \frac{\pi}{2}
x2=−1+3π2x_{2} = -1 + \frac{3 \pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
      pi     /  ___\ 
(-1 + --, log\\/ 2 /)
      2              

      3*pi            /  ___\ 
(-1 + ----, pi*I + log\\/ 2 /)
       2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=−1+π2x_{2} = -1 + \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−1+π2]\left(-\infty, -1 + \frac{\pi}{2}\right]
Crece en los intervalos
[−1+π2,∞)\left[-1 + \frac{\pi}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(1+cos⁡2(x+1)sin⁡2(x+1))=0- (1 + \frac{\cos^{2}{\left(x + 1 \right)}}{\sin^{2}{\left(x + 1 \right)}}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(2sin⁡(x+1))=log⁡(2⟨−1,1⟩)\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\sqrt{2} \sin{\left(x + 1 \right)} \right)} = \log{\left(\sqrt{2} \left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=log⁡(2⟨−1,1⟩)y = \log{\left(\sqrt{2} \left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
lim⁡x→∞log⁡(2sin⁡(x+1))=log⁡(2⟨−1,1⟩)\lim_{x \to \infty} \log{\left(\sqrt{2} \sin{\left(x + 1 \right)} \right)} = \log{\left(\sqrt{2} \left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=log⁡(2⟨−1,1⟩)y = \log{\left(\sqrt{2} \left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(sqrt(2)*sin(x + 1)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(2sin⁡(x+1))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\sqrt{2} \sin{\left(x + 1 \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(2sin⁡(x+1))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sqrt{2} \sin{\left(x + 1 \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(2sin⁡(x+1))=log⁡(−2sin⁡(x−1))\log{\left(\sqrt{2} \sin{\left(x + 1 \right)} \right)} = \log{\left(- \sqrt{2} \sin{\left(x - 1 \right)} \right)}
- No
log⁡(2sin⁡(x+1))=−log⁡(−2sin⁡(x−1))\log{\left(\sqrt{2} \sin{\left(x + 1 \right)} \right)} = - \log{\left(- \sqrt{2} \sin{\left(x - 1 \right)} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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