Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x-1)/(x+2)
-
-1-x
-
-exp(-x)+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(x/2)
-
3/(x^2+1)
-
Expresiones idénticas
- x^ cuatro - dos x^2- cinco
- x en el grado 4 menos 2x al cuadrado menos 5
- x en el grado cuatro menos dos x al cuadrado menos cinco
- x4-2x2-5
- x⁴-2x²-5
- x en el grado 4-2x en el grado 2-5
-
Expresiones semejantes
- x^4-2x^2+5
- x^4+2x^2-5
Gráfico de la función y = x^4-2x^2-5
Solución
Ha introducido
[src]
4 2 f(x) = x - 2*x - 5
$$f{\left(x \right)} = \left(x^{4} - 2 x^{2}\right) - 5$$
f = x^4 - 2*x^2 - 5
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) - 5 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \sqrt{1 + \sqrt{6}}$$
$$x_{2} = \sqrt{1 + \sqrt{6}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1.85728020039605$$
$$x_{2} = 1.85728020039605$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) - 5 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \sqrt{1 + \sqrt{6}}$$
$$x_{2} = \sqrt{1 + \sqrt{6}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1.85728020039605$$
$$x_{2} = 1.85728020039605$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 x^{3} - 4 x = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-1, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, 1\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 x^{3} - 4 x = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Signos de extremos en los puntos:
(-1, -6)
(0, -5)
(1, -6)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-1, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, 1\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$4 \left(3 x^{2} - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$4 \left(3 x^{2} - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) - 5\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) - 5\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) - 5\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) - 5\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4 - 2*x^2 - 5, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) - 5}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) - 5}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) - 5}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) - 5}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) - 5 = \left(x^{4} - 2 x^{2}\right) - 5$$
- Sí
$$\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) - 5 = \left(- x^{4} + 2 x^{2}\right) + 5$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) - 5 = \left(x^{4} - 2 x^{2}\right) - 5$$
- Sí
$$\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) - 5 = \left(- x^{4} + 2 x^{2}\right) + 5$$
- No
es decir, función
es
par
Gráfico