Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ -3sin(x-(pi/3))+1/2

Gráfico de la función y = -3sin(x-(pi/3))+1/2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              /    pi\   1
f(x) = - 3*sin|x - --| + -
              \    3 /   2
f(x)=12−3sin⁡(x−π3)f{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - 3 \sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} 
f = 1/2 - 3*sin(x - pi/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
12−3sin⁡(x−π3)=0\frac{1}{2} - 3 \sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π6+acos⁡(−16)x_{1} = - \frac{\pi}{6} + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{6} \right)}
x2=−acos⁡(−16)+11π6x_{2} = - \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{6} \right)} + \frac{11 \pi}{6}
Solución numérica
x1=98.2691217332605x_{1} = 98.2691217332605
x2=−74.1835780557387x_{2} = -74.1835780557387
x3=76.6128693165713x_{3} = 76.6128693165713
x4=41.7204539686442x_{4} = 41.7204539686442
x5=−17.6349102911225x_{5} = -17.6349102911225
x6=4.0213421255667x_{6} = 4.0213421255667
x7=−5.0685396767633x_{7} = -5.0685396767633
x8=73.1363805045422x_{8} = 73.1363805045422
x9=22.8708980471055x_{9} = 22.8708980471055
x10=−58.8105109462292x_{10} = -58.8105109462292
x11=−2.26184318161289x_{11} = -2.26184318161289
x12=−83.9432521749475x_{12} = -83.9432521749475
x13=−90.2264374821271x_{13} = -90.2264374821271
x14=51.480128087853x_{14} = 51.480128087853
x15=−30.2012809054816x_{15} = -30.2012809054816
x16=−67.9003927485592x_{16} = -67.9003927485592
x17=−21.1113991031516x_{17} = -21.1113991031516
x18=48.0036392758238x_{18} = 48.0036392758238
x19=64.0464987022121x_{19} = 64.0464987022121
x20=66.8531951973626x_{20} = 66.8531951973626
x21=45.1969427806734x_{21} = 45.1969427806734
x22=−49.0508368270204x_{22} = -49.0508368270204
x23=7.49783093759587x_{23} = 7.49783093759587
x24=−61.6172074413796x_{24} = -61.6172074413796
x25=26.3473868591346x_{25} = 26.3473868591346
x26=−419.758769950616x_{26} = -419.758769950616
x27=−36.4844662126612x_{27} = -36.4844662126612
x28=13.7810162447755x_{28} = 13.7810162447755
x29=54.2868245830034x_{29} = 54.2868245830034
x30=1.21464563041629x_{30} = 1.21464563041629
x31=32.6305721663142x_{31} = 32.6305721663142
x32=−14.8282137959721x_{32} = -14.8282137959721
x33=−55.3340221342x_{33} = -55.3340221342
x34=−23.9180955983021x_{34} = -23.9180955983021
x35=−96.5096227893067x_{35} = -96.5096227893067
x36=79.4195658117217x_{36} = 79.4195658117217
x37=−52.5273256390496x_{37} = -52.5273256390496
x38=−27.3945844103312x_{38} = -27.3945844103312
x39=82.8960546237509x_{39} = 82.8960546237509
x40=38.9137574734938x_{40} = 38.9137574734938
x41=−99.3163192844571x_{41} = -99.3163192844571
x42=16.5877127399259x_{42} = 16.5877127399259
x43=−65.0936962534088x_{43} = -65.0936962534088
x44=35.4372686614646x_{44} = 35.4372686614646
x45=10.3045274327463x_{45} = 10.3045274327463
x46=−39.9609550246904x_{46} = -39.9609550246904
x47=95.4624252381101x_{47} = 95.4624252381101
x48=85.7027511189013x_{48} = 85.7027511189013
x49=91.9859364260809x_{49} = 91.9859364260809
x50=−2731.9709629927x_{50} = -2731.9709629927
x51=−33.6777697175108x_{51} = -33.6777697175108
x52=−8.54502848879247x_{52} = -8.54502848879247
x53=−42.7676515198408x_{53} = -42.7676515198408
x54=108.028795852469x_{54} = 108.028795852469
x55=70.3296840093917x_{55} = 70.3296840093917
x56=57.7633133950326x_{56} = 57.7633133950326
x57=−86.7499486700979x_{57} = -86.7499486700979
x58=−77.6600668677679x_{58} = -77.6600668677679
x59=20.064201551955x_{59} = 20.064201551955
x60=−93.0331339772775x_{60} = -93.0331339772775
x61=−11.3517249839429x_{61} = -11.3517249839429
x62=−46.24414033187x_{62} = -46.24414033187
x63=60.570009890183x_{63} = 60.570009890183
x64=−80.4667633629183x_{64} = -80.4667633629183
x65=89.1792399309305x_{65} = 89.1792399309305
x66=29.154083354285x_{66} = 29.154083354285
x67=−71.3768815605883x_{67} = -71.3768815605883
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -3*sin(x - pi/3) + 1/2.
12−3sin⁡(−π3)\frac{1}{2} - 3 \sin{\left(- \frac{\pi}{3} \right)}
Resultado:
f(0)=12+332f{\left(0 \right)} = \frac{1}{2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2}
Punto:
(0, 1/2 + 3*sqrt(3)/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3cos⁡(x−π3)=0- 3 \cos{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π6x_{1} = - \frac{\pi}{6}
x2=5π6x_{2} = \frac{5 \pi}{6}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi   1        /pi   pi\ 
(----, - + 3*sin|-- + --|)
  6    2        \6    3 / 

 5*pi  1        /pi   pi\ 
(----, - - 3*cos|-- - --|)
  6    2        \3    3 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=5π6x_{1} = \frac{5 \pi}{6}
Puntos máximos de la función:
x1=−π6x_{1} = - \frac{\pi}{6}
Decrece en los intervalos
(−∞,−π6]∪[5π6,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{6}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−π6,5π6]\left[- \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−3cos⁡(x+π6)=0- 3 \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
x2=4π3x_{2} = \frac{4 \pi}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π3,4π3]\left[\frac{\pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π3]∪[4π3,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{4 \pi}{3}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(12−3sin⁡(x−π3))=⟨−52,72⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{2} - 3 \sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)}\right) = \left\langle - \frac{5}{2}, \frac{7}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−52,72⟩y = \left\langle - \frac{5}{2}, \frac{7}{2}\right\rangle
lim⁡x→∞(12−3sin⁡(x−π3))=⟨−52,72⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2} - 3 \sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)}\right) = \left\langle - \frac{5}{2}, \frac{7}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−52,72⟩y = \left\langle - \frac{5}{2}, \frac{7}{2}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -3*sin(x - pi/3) + 1/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(12−3sin⁡(x−π3)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{2} - 3 \sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(12−3sin⁡(x−π3)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{2} - 3 \sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
12−3sin⁡(x−π3)=3sin⁡(x+π3)+12\frac{1}{2} - 3 \sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} = 3 \sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} + \frac{1}{2}
- No
12−3sin⁡(x−π3)=−3sin⁡(x+π3)−12\frac{1}{2} - 3 \sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} = - 3 \sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} - \frac{1}{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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