Gráfico de la función y = (lgx)^lg(x)

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          log(x)   
f(x) = log      (x)

$$f{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}^{\log{\left(x \right)}}$$

f = log(x)^log(x)

Gráfico de la función

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\log{\left(x \right)}^{\log{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x)^log(x).
$$\log{\left(0 \right)}^{\log{\left(0 \right)}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- no hay soluciones de la ecuación

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(\frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} + \frac{1}{x}\right) \log{\left(x \right)}^{\log{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{e^{-1}}$$
Signos de extremos en los puntos:

  / -1\     -1 
  \e  /   -e   
(e    , e    )

Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = e^{e^{-1}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[e^{e^{-1}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{e^{-1}}\right]$$

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(\left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 1\right)^{2} - \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - 1 + \frac{1}{\log{\left(x \right)}}\right) \log{\left(x \right)}^{\log{\left(x \right)}}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(x \right)}^{\log{\left(x \right)}} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(x \right)}^{\log{\left(x \right)}} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x)^log(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{\log{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{\log{\left(x \right)}}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(x \right)}^{\log{\left(x \right)}} = \log{\left(- x \right)}^{\log{\left(- x \right)}}$$
- No
$$\log{\left(x \right)}^{\log{\left(x \right)}} = - \log{\left(- x \right)}^{\log{\left(- x \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Gráfico de la función y = (lgx)^lg(x)

Gráfico:

Puntos de intersección:

Definida a trozos:

Solución