Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ln(x-1)+ln(1/(x-3))+ln(1/(x+5))

Gráfico de la función y = ln(x-1)+ln(1/(x-3))+ln(1/(x+5))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                       /  1  \      /  1  \
f(x) = log(x - 1) + log|-----| + log|-----|
                       \x - 3/      \x + 5/
f(x)=(log⁡(1x−3)+log⁡(x−1))+log⁡(1x+5)f{\left(x \right)} = \left(\log{\left(\frac{1}{x - 3} \right)} + \log{\left(x - 1 \right)}\right) + \log{\left(\frac{1}{x + 5} \right)} 
f = log(1/(x - 3)) + log(x - 1) + log(1/(x + 5))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−5x_{1} = -5
x2=3x_{2} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(log⁡(1x−3)+log⁡(x−1))+log⁡(1x+5)=0\left(\log{\left(\frac{1}{x - 3} \right)} + \log{\left(x - 1 \right)}\right) + \log{\left(\frac{1}{x + 5} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x - 1) + log(1/(x - 3)) + log(1/(x + 5)).
log⁡(15)+(log⁡(1−3)+log⁡(−1))\log{\left(\frac{1}{5} \right)} + \left(\log{\left(\frac{1}{-3} \right)} + \log{\left(-1 \right)}\right)
Resultado:
f(0)=−log⁡(5)−log⁡(3)+2iπf{\left(0 \right)} = - \log{\left(5 \right)} - \log{\left(3 \right)} + 2 i \pi
Punto:
(0, -log(3) - log(5) + 2*pi*i)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−1x+5+1x−1−1x−3=0- \frac{1}{x + 5} + \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x - 3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
1(x+5)2−1(x−1)2+1(x−3)2=0\frac{1}{\left(x + 5\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 3\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−−32+3238434+22403+238434+224032+1+−64−238434+22403−3238434+22403+192−32+3238434+22403+238434+224032x_{1} = - \frac{\sqrt{-32 + \frac{32}{\sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240}} + 2 \sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240}}}{2} + 1 + \frac{\sqrt{-64 - 2 \sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240} - \frac{32}{\sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240}} + \frac{192}{\sqrt{-32 + \frac{32}{\sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240}} + 2 \sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240}}}}}{2}
x2=−−64−238434+22403−3238434+22403+192−32+3238434+22403+238434+224032−−32+3238434+22403+238434+224032+1x_{2} = - \frac{\sqrt{-64 - 2 \sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240} - \frac{32}{\sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240}} + \frac{192}{\sqrt{-32 + \frac{32}{\sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240}} + 2 \sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240}}}}}{2} - \frac{\sqrt{-32 + \frac{32}{\sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240}} + 2 \sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240}}}{2} + 1
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−5x_{1} = -5
x2=3x_{2} = 3

lim⁡x→−5−(1(x+5)2−1(x−1)2+1(x−3)2)=∞\lim_{x \to -5^-}\left(\frac{1}{\left(x + 5\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = \infty
lim⁡x→−5+(1(x+5)2−1(x−1)2+1(x−3)2)=∞\lim_{x \to -5^+}\left(\frac{1}{\left(x + 5\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
lim⁡x→3−(1(x+5)2−1(x−1)2+1(x−3)2)=∞\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{1}{\left(x + 5\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = \infty
lim⁡x→3+(1(x+5)2−1(x−1)2+1(x−3)2)=∞\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{1}{\left(x + 5\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−−64−238434+22403−3238434+22403+192−32+3238434+22403+238434+224032−−32+3238434+22403+238434+224032+1]∪[−−32+3238434+22403+238434+224032+1+−64−238434+22403−3238434+22403+192−32+3238434+22403+238434+224032,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{-64 - 2 \sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240} - \frac{32}{\sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240}} + \frac{192}{\sqrt{-32 + \frac{32}{\sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240}} + 2 \sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240}}}}}{2} - \frac{\sqrt{-32 + \frac{32}{\sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240}} + 2 \sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240}}}{2} + 1\right] \cup \left[- \frac{\sqrt{-32 + \frac{32}{\sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240}} + 2 \sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240}}}{2} + 1 + \frac{\sqrt{-64 - 2 \sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240} - \frac{32}{\sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240}} + \frac{192}{\sqrt{-32 + \frac{32}{\sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240}} + 2 \sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240}}}}}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−−64−238434+22403−3238434+22403+192−32+3238434+22403+238434+224032−−32+3238434+22403+238434+224032+1,−−32+3238434+22403+238434+224032+1+−64−238434+22403−3238434+22403+192−32+3238434+22403+238434+224032]\left[- \frac{\sqrt{-64 - 2 \sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240} - \frac{32}{\sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240}} + \frac{192}{\sqrt{-32 + \frac{32}{\sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240}} + 2 \sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240}}}}}{2} - \frac{\sqrt{-32 + \frac{32}{\sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240}} + 2 \sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240}}}{2} + 1, - \frac{\sqrt{-32 + \frac{32}{\sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240}} + 2 \sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240}}}{2} + 1 + \frac{\sqrt{-64 - 2 \sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240} - \frac{32}{\sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240}} + \frac{192}{\sqrt{-32 + \frac{32}{\sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240}} + 2 \sqrt[3]{384 \sqrt{34} + 2240}}}}}{2}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−5x_{1} = -5
x2=3x_{2} = 3
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((log⁡(1x−3)+log⁡(x−1))+log⁡(1x+5))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\log{\left(\frac{1}{x - 3} \right)} + \log{\left(x - 1 \right)}\right) + \log{\left(\frac{1}{x + 5} \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((log⁡(1x−3)+log⁡(x−1))+log⁡(1x+5))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(\log{\left(\frac{1}{x - 3} \right)} + \log{\left(x - 1 \right)}\right) + \log{\left(\frac{1}{x + 5} \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x - 1) + log(1/(x - 3)) + log(1/(x + 5)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((log⁡(1x−3)+log⁡(x−1))+log⁡(1x+5)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\log{\left(\frac{1}{x - 3} \right)} + \log{\left(x - 1 \right)}\right) + \log{\left(\frac{1}{x + 5} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((log⁡(1x−3)+log⁡(x−1))+log⁡(1x+5)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\log{\left(\frac{1}{x - 3} \right)} + \log{\left(x - 1 \right)}\right) + \log{\left(\frac{1}{x + 5} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(log⁡(1x−3)+log⁡(x−1))+log⁡(1x+5)=log⁡(15−x)+log⁡(1−x−3)+log⁡(−x−1)\left(\log{\left(\frac{1}{x - 3} \right)} + \log{\left(x - 1 \right)}\right) + \log{\left(\frac{1}{x + 5} \right)} = \log{\left(\frac{1}{5 - x} \right)} + \log{\left(\frac{1}{- x - 3} \right)} + \log{\left(- x - 1 \right)}
- No
(log⁡(1x−3)+log⁡(x−1))+log⁡(1x+5)=−log⁡(15−x)−log⁡(1−x−3)−log⁡(−x−1)\left(\log{\left(\frac{1}{x - 3} \right)} + \log{\left(x - 1 \right)}\right) + \log{\left(\frac{1}{x + 5} \right)} = - \log{\left(\frac{1}{5 - x} \right)} - \log{\left(\frac{1}{- x - 3} \right)} - \log{\left(- x - 1 \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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