Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x^arctgx

Gráfico de la función y = x^arctgx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        acot(x)
f(x) = x
f(x)=xacot⁡(x)f{\left(x \right)} = x^{\operatorname{acot}{\left(x \right)}} 
f = x^acot(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xacot⁡(x)=0x^{\operatorname{acot}{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^acot(x).
0acot⁡(0)0^{\operatorname{acot}{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
xacot⁡(x)(−log⁡(x)x2+1+acot⁡(x)x)=0x^{\operatorname{acot}{\left(x \right)}} \left(- \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2} + 1} + \frac{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2.93237120038067x_{1} = 2.93237120038067
Signos de extremos en los puntos:
(2.9323712003806723, 1.42414130838144)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=2.93237120038067x_{1} = 2.93237120038067
Decrece en los intervalos
(−∞,2.93237120038067]\left(-\infty, 2.93237120038067\right]
Crece en los intervalos
[2.93237120038067,∞)\left[2.93237120038067, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
xacot⁡(x)(2xlog⁡(x)(x2+1)2+(log⁡(x)x2+1−acot⁡(x)x)2−2x(x2+1)−acot⁡(x)x2)=0x^{\operatorname{acot}{\left(x \right)}} \left(\frac{2 x \log{\left(x \right)}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2} + 1} - \frac{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x}\right)^{2} - \frac{2}{x \left(x^{2} + 1\right)} - \frac{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=39191.441387957x_{1} = 39191.441387957
x2=26901.2412138305x_{2} = 26901.2412138305
x3=52456.3103687384x_{3} = 52456.3103687384
x4=51355.6131554866x_{4} = 51355.6131554866
x5=44734.1991207973x_{5} = 44734.1991207973
x6=24650.4494520772x_{6} = 24650.4494520772
x7=54655.4120979409x_{7} = 54655.4120979409
x8=41411.4720654588x_{8} = 41411.4720654588
x9=40301.9615395353x_{9} = 40301.9615395353
x10=38079.8851304912x_{10} = 38079.8851304912
x11=36967.2655875309x_{11} = 36967.2655875309
x12=34738.7250266363x_{12} = 34738.7250266363
x13=49151.8357308118x_{13} = 49151.8357308118
x14=45839.9203538363x_{14} = 45839.9203538363
x15=4.72804164681674x_{15} = 4.72804164681674
x16=32505.5930158416x_{16} = 32505.5930158416
x17=35853.5549721892x_{17} = 35853.5549721892
x18=25776.5029056205x_{18} = 25776.5029056205
x19=55753.850791162x_{19} = 55753.850791162
x20=53556.237548898x_{20} = 53556.237548898
x21=57948.5847324975x_{21} = 57948.5847324975
x22=42519.9986873266x_{22} = 42519.9986873266
x23=29146.7959912156x_{23} = 29146.7959912156
x24=31387.2342774224x_{24} = 31387.2342774224
x25=56851.5698030362x_{25} = 56851.5698030362
x26=30267.6437856181x_{26} = 30267.6437856181
x27=43627.56633321x_{27} = 43627.56633321
x28=50254.1278542409x_{28} = 50254.1278542409
x29=33622.7472181323x_{29} = 33622.7472181323
x30=28024.6680422269x_{30} = 28024.6680422269
x31=46944.7525283045x_{31} = 46944.7525283045
x32=48048.7173456137x_{32} = 48048.7173456137

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[4.72804164681674,∞)\left[4.72804164681674, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,4.72804164681674]\left(-\infty, 4.72804164681674\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞xacot⁡(x)=1\lim_{x \to -\infty} x^{\operatorname{acot}{\left(x \right)}} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞xacot⁡(x)=1\lim_{x \to \infty} x^{\operatorname{acot}{\left(x \right)}} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^acot(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(xacot⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(xacot⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xacot⁡(x)=(−x)−acot⁡(x)x^{\operatorname{acot}{\left(x \right)}} = \left(- x\right)^{- \operatorname{acot}{\left(x \right)}}
- No
xacot⁡(x)=−(−x)−acot⁡(x)x^{\operatorname{acot}{\left(x \right)}} = - \left(- x\right)^{- \operatorname{acot}{\left(x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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