Sr Examen

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Gráfico de la función y = arcsin((x+2)/(2x+1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
           / x + 2 \
f(x) = asin|-------|
           \2*x + 1/
f(x)=asin(x+22x+1)f{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x + 2}{2 x + 1} \right)}
f = asin((x + 2)/(2*x + 1))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0.5x_{1} = -0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
asin(x+22x+1)=0\operatorname{asin}{\left(\frac{x + 2}{2 x + 1} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2x_{1} = -2
Solución numérica
x1=2x_{1} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en asin((x + 2)/(2*x + 1)).
asin(202+1)\operatorname{asin}{\left(\frac{2}{0 \cdot 2 + 1} \right)}
Resultado:
f(0)=asin(2)f{\left(0 \right)} = \operatorname{asin}{\left(2 \right)}
Punto:
(0, asin(2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2(x+2)(2x+1)2+12x+1(x+2)2(2x+1)2+1=0\frac{- \frac{2 \left(x + 2\right)}{\left(2 x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 x + 1}}{\sqrt{- \frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(2 x + 1\right)^{2}} + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(2(x+2)2x+11)((x+2)(2(x+2)2x+11)(2x+1)((x+2)2(2x+1)2+1)+4)(2x+1)2(x+2)2(2x+1)2+1=0\frac{\left(\frac{2 \left(x + 2\right)}{2 x + 1} - 1\right) \left(\frac{\left(x + 2\right) \left(\frac{2 \left(x + 2\right)}{2 x + 1} - 1\right)}{\left(2 x + 1\right) \left(- \frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(2 x + 1\right)^{2}} + 1\right)} + 4\right)}{\left(2 x + 1\right)^{2} \sqrt{- \frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(2 x + 1\right)^{2}} + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=18+338x_{1} = - \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8}
x2=33818x_{2} = - \frac{\sqrt{33}}{8} - \frac{1}{8}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0.5x_{1} = -0.5

limx0.5((2(x+2)2x+11)((x+2)(2(x+2)2x+11)(2x+1)((x+2)2(2x+1)2+1)+4)(2x+1)2(x+2)2(2x+1)2+1)=i\lim_{x \to -0.5^-}\left(\frac{\left(\frac{2 \left(x + 2\right)}{2 x + 1} - 1\right) \left(\frac{\left(x + 2\right) \left(\frac{2 \left(x + 2\right)}{2 x + 1} - 1\right)}{\left(2 x + 1\right) \left(- \frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(2 x + 1\right)^{2}} + 1\right)} + 4\right)}{\left(2 x + 1\right)^{2} \sqrt{- \frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(2 x + 1\right)^{2}} + 1}}\right) = \infty i
limx0.5+((2(x+2)2x+11)((x+2)(2(x+2)2x+11)(2x+1)((x+2)2(2x+1)2+1)+4)(2x+1)2(x+2)2(2x+1)2+1)=i\lim_{x \to -0.5^+}\left(\frac{\left(\frac{2 \left(x + 2\right)}{2 x + 1} - 1\right) \left(\frac{\left(x + 2\right) \left(\frac{2 \left(x + 2\right)}{2 x + 1} - 1\right)}{\left(2 x + 1\right) \left(- \frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(2 x + 1\right)^{2}} + 1\right)} + 4\right)}{\left(2 x + 1\right)^{2} \sqrt{- \frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(2 x + 1\right)^{2}} + 1}}\right) = - \infty i
- los límites no son iguales, signo
x1=0.5x_{1} = -0.5
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0.5x_{1} = -0.5
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limxasin(x+22x+1)=π6\lim_{x \to -\infty} \operatorname{asin}{\left(\frac{x + 2}{2 x + 1} \right)} = \frac{\pi}{6}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=π6y = \frac{\pi}{6}
limxasin(x+22x+1)=π6\lim_{x \to \infty} \operatorname{asin}{\left(\frac{x + 2}{2 x + 1} \right)} = \frac{\pi}{6}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=π6y = \frac{\pi}{6}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función asin((x + 2)/(2*x + 1)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx(asin(x+22x+1)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{x + 2}{2 x + 1} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
limx(asin(x+22x+1)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{x + 2}{2 x + 1} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
asin(x+22x+1)=asin(2x12x)\operatorname{asin}{\left(\frac{x + 2}{2 x + 1} \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{2 - x}{1 - 2 x} \right)}
- No
asin(x+22x+1)=asin(2x12x)\operatorname{asin}{\left(\frac{x + 2}{2 x + 1} \right)} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{2 - x}{1 - 2 x} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar