Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{\left(\frac{2 \left(x + 2\right)}{2 x + 1} - 1\right) \left(\frac{\left(x + 2\right) \left(\frac{2 \left(x + 2\right)}{2 x + 1} - 1\right)}{\left(2 x + 1\right) \left(- \frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(2 x + 1\right)^{2}} + 1\right)} + 4\right)}{\left(2 x + 1\right)^{2} \sqrt{- \frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(2 x + 1\right)^{2}} + 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{33}}{8} - \frac{1}{8}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -0.5$$
$$\lim_{x \to -0.5^-}\left(\frac{\left(\frac{2 \left(x + 2\right)}{2 x + 1} - 1\right) \left(\frac{\left(x + 2\right) \left(\frac{2 \left(x + 2\right)}{2 x + 1} - 1\right)}{\left(2 x + 1\right) \left(- \frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(2 x + 1\right)^{2}} + 1\right)} + 4\right)}{\left(2 x + 1\right)^{2} \sqrt{- \frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(2 x + 1\right)^{2}} + 1}}\right) = \infty i$$
$$\lim_{x \to -0.5^+}\left(\frac{\left(\frac{2 \left(x + 2\right)}{2 x + 1} - 1\right) \left(\frac{\left(x + 2\right) \left(\frac{2 \left(x + 2\right)}{2 x + 1} - 1\right)}{\left(2 x + 1\right) \left(- \frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(2 x + 1\right)^{2}} + 1\right)} + 4\right)}{\left(2 x + 1\right)^{2} \sqrt{- \frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(2 x + 1\right)^{2}} + 1}}\right) = - \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -0.5$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico