Puntos en los que la función no está definida exactamente: x1=−0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0 o sea hay que resolver la ecuación: asin(2x+1x+2)=0 Resolvermos esta ecuación Puntos de cruce con el eje X:
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0: sustituimos x = 0 en asin((x + 2)/(2*x + 1)). asin(0⋅2+12) Resultado: f(0)=asin(2) Punto:
(0, asin(2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación dxdf(x)=0 (la derivada es igual a cero), y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función: dxdf(x)= primera derivada −(2x+1)2(x+2)2+1−(2x+1)22(x+2)+2x+11=0 Resolvermos esta ecuación Soluciones no halladas, tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación dx2d2f(x)=0 (la segunda derivada es igual a cero), las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado: dx2d2f(x)= segunda derivada (2x+1)2−(2x+1)2(x+2)2+1(2x+12(x+2)−1)((2x+1)(−(2x+1)2(x+2)2+1)(x+2)(2x+12(x+2)−1)+4)=0 Resolvermos esta ecuación Raíces de esta ecuación x1=−81+833 x2=−833−81 Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función: Puntos donde hay indeterminación: x1=−0.5
x→−0.5−lim(2x+1)2−(2x+1)2(x+2)2+1(2x+12(x+2)−1)((2x+1)(−(2x+1)2(x+2)2+1)(x+2)(2x+12(x+2)−1)+4)=∞i x→−0.5+lim(2x+1)2−(2x+1)2(x+2)2+1(2x+12(x+2)−1)((2x+1)(−(2x+1)2(x+2)2+1)(x+2)(2x+12(x+2)−1)+4)=−∞i - los límites no son iguales, signo x1=−0.5 - es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad: Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones: No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay: x1=−0.5
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo x→−∞limasin(2x+1x+2)=6π Tomamos como el límite es decir, ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda: y=6π x→∞limasin(2x+1x+2)=6π Tomamos como el límite es decir, ecuación de la asíntota horizontal a la derecha: y=6π
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función asin((x + 2)/(2*x + 1)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo x→−∞lim(xasin(2x+1x+2))=0 Tomamos como el límite es decir, la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha x→∞lim(xasin(2x+1x+2))=0 Tomamos como el límite es decir, la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x). Pues, comprobamos: asin(2x+1x+2)=asin(1−2x2−x) - No asin(2x+1x+2)=−asin(1−2x2−x) - No es decir, función no es par ni impar