Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arcsin((x-3)/2)

Gráfico de la función y = arcsin((x-3)/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /x - 3\
f(x) = asin|-----|
           \  2  /
f(x)=asin⁡(x−32)f{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x - 3}{2} \right)} 
f = asin((x - 3)/2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
asin⁡(x−32)=0\operatorname{asin}{\left(\frac{x - 3}{2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=3x_{1} = 3
Solución numérica
x1=3x_{1} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en asin((x - 3)/2).
asin⁡(−32)\operatorname{asin}{\left(- \frac{3}{2} \right)}
Resultado:
f(0)=−asin⁡(32)f{\left(0 \right)} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{3}{2} \right)}
Punto:
(0, -asin(3/2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
121−(x−3)24=0\frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{\left(x - 3\right)^{2}}{4}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x−38(1−(x−3)24)32=0\frac{x - 3}{8 \left(1 - \frac{\left(x - 3\right)^{2}}{4}\right)^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3x_{1} = 3

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[3,∞)\left[3, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,3]\left(-\infty, 3\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞asin⁡(x−32)=∞i\lim_{x \to -\infty} \operatorname{asin}{\left(\frac{x - 3}{2} \right)} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞asin⁡(x−32)=−∞i\lim_{x \to \infty} \operatorname{asin}{\left(\frac{x - 3}{2} \right)} = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función asin((x - 3)/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(asin⁡(x−32)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{x - 3}{2} \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(asin⁡(x−32)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{x - 3}{2} \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
asin⁡(x−32)=−asin⁡(x2+32)\operatorname{asin}{\left(\frac{x - 3}{2} \right)} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} + \frac{3}{2} \right)}
- No
asin⁡(x−32)=asin⁡(x2+32)\operatorname{asin}{\left(\frac{x - 3}{2} \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} + \frac{3}{2} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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