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Trazado el gráfico de la función/ arcsin(x-3)/2-(ln(4-x))

Gráfico de la función y = arcsin(x-3)/2-(ln(4-x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       asin(x - 3)             
f(x) = ----------- - log(4 - x)
            2
f(x)=−log⁡(4−x)+asin⁡(x−3)2f{\left(x \right)} = - \log{\left(4 - x \right)} + \frac{\operatorname{asin}{\left(x - 3 \right)}}{2} 
f = -log(4 - x) + asin(x - 3)/2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−log⁡(4−x)+asin⁡(x−3)2=0- \log{\left(4 - x \right)} + \frac{\operatorname{asin}{\left(x - 3 \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=3x_{1} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en asin(x - 3)/2 - log(4 - x).
−log⁡(4−0)+asin⁡(−3)2- \log{\left(4 - 0 \right)} + \frac{\operatorname{asin}{\left(-3 \right)}}{2}
Resultado:
f(0)=−log⁡(4)−asin⁡(3)2f{\left(0 \right)} = - \log{\left(4 \right)} - \frac{\operatorname{asin}{\left(3 \right)}}{2}
Punto:
(0, -log(4) - asin(3)/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
14−x+121−(x−3)2=0\frac{1}{4 - x} + \frac{1}{2 \sqrt{1 - \left(x - 3\right)^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
1(x−4)2+x−32(1−(x−3)2)32=0\frac{1}{\left(x - 4\right)^{2}} + \frac{x - 3}{2 \left(1 - \left(x - 3\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−592252893375+23212253+2893375+23212253+3415x_{1} = - \frac{59}{225 \sqrt[3]{\frac{289}{3375} + \frac{2 \sqrt{321}}{225}}} + \sqrt[3]{\frac{289}{3375} + \frac{2 \sqrt{321}}{225}} + \frac{34}{15}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−592252893375+23212253+2893375+23212253+3415,∞)\left[- \frac{59}{225 \sqrt[3]{\frac{289}{3375} + \frac{2 \sqrt{321}}{225}}} + \sqrt[3]{\frac{289}{3375} + \frac{2 \sqrt{321}}{225}} + \frac{34}{15}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−592252893375+23212253+2893375+23212253+3415]\left(-\infty, - \frac{59}{225 \sqrt[3]{\frac{289}{3375} + \frac{2 \sqrt{321}}{225}}} + \sqrt[3]{\frac{289}{3375} + \frac{2 \sqrt{321}}{225}} + \frac{34}{15}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
False

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
False

False

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
False
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función asin(x - 3)/2 - log(4 - x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(−log⁡(4−x)+asin⁡(x−3)2x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \log{\left(4 - x \right)} + \frac{\operatorname{asin}{\left(x - 3 \right)}}{2}}{x}\right)
lim⁡x→∞(−log⁡(4−x)+asin⁡(x−3)2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \log{\left(4 - x \right)} + \frac{\operatorname{asin}{\left(x - 3 \right)}}{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−log⁡(4−x)+asin⁡(x−3)2=−log⁡(x+4)−asin⁡(x+3)2- \log{\left(4 - x \right)} + \frac{\operatorname{asin}{\left(x - 3 \right)}}{2} = - \log{\left(x + 4 \right)} - \frac{\operatorname{asin}{\left(x + 3 \right)}}{2}
- No
−log⁡(4−x)+asin⁡(x−3)2=log⁡(x+4)+asin⁡(x+3)2- \log{\left(4 - x \right)} + \frac{\operatorname{asin}{\left(x - 3 \right)}}{2} = \log{\left(x + 4 \right)} + \frac{\operatorname{asin}{\left(x + 3 \right)}}{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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