Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arcsin(1/(sqrt(1+x²)))

Gráfico de la función y = arcsin(1/(sqrt(1+x²)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /     1     \
f(x) = asin|-----------|
           |   ________|
           |  /      2 |
           \\/  1 + x  /
f(x)=asin⁡(1x2+1)f{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} \right)} 
f = asin(1/(sqrt(x^2 + 1)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
asin⁡(1x2+1)=0\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en asin(1/(sqrt(1 + x^2))).
asin⁡(102+1)\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{\sqrt{0^{2} + 1}} \right)}
Resultado:
f(0)=π2f{\left(0 \right)} = \frac{\pi}{2}
Punto:
(0, pi/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x1−1x2+1(x2+1)32=0- \frac{x}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2} + 1}} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3x2x2+1+x2(1−1x2+1)(x2+1)2−11−1x2+1(x2+1)32=0\frac{\frac{3 x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{x^{2}}{\left(1 - \frac{1}{x^{2} + 1}\right) \left(x^{2} + 1\right)^{2}} - 1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2} + 1}} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞asin⁡(1x2+1)=0\lim_{x \to -\infty} \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞asin⁡(1x2+1)=0\lim_{x \to \infty} \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función asin(1/(sqrt(1 + x^2))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(asin⁡(1x2+1)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(asin⁡(1x2+1)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
asin⁡(1x2+1)=asin⁡(1x2+1)\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} \right)}
- Sí
asin⁡(1x2+1)=−asin⁡(1x2+1)\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} \right)} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} \right)}
- No
es decir, función
es
par
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