Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arcsin((1-x^2)/2)^(1/2)

Gráfico de la función y = arcsin((1-x^2)/2)^(1/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            ______________
           /     /     2\ 
          /      |1 - x | 
f(x) =   /   asin|------| 
       \/        \  2   /
f(x)=asin⁡(1−x22)f{\left(x \right)} = \sqrt{\operatorname{asin}{\left(\frac{1 - x^{2}}{2} \right)}} 
f = sqrt(asin((1 - x^2)/2))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.01.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
asin⁡(1−x22)=0\sqrt{\operatorname{asin}{\left(\frac{1 - x^{2}}{2} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(asin((1 - x^2)/2)).
asin⁡(1−022)\sqrt{\operatorname{asin}{\left(\frac{1 - 0^{2}}{2} \right)}}
Resultado:
f(0)=6π6f{\left(0 \right)} = \frac{\sqrt{6} \sqrt{\pi}}{6}
Punto:
(0, sqrt(6)*sqrt(pi)/6)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x21−(1−x2)24asin⁡(1−x22)=0- \frac{x}{2 \sqrt{1 - \frac{\left(1 - x^{2}\right)^{2}}{4}} \sqrt{\operatorname{asin}{\left(\frac{1 - x^{2}}{2} \right)}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
        _________ 
       /     /1\  
(0,   /  asin|-| )
    \/       \2/


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−4x2((x2−1)2−4)asin⁡(x2−12)−x2(x2−1)(1−(1−x2)24)32−21−(1−x2)244−asin⁡(x2−12)=0\frac{- \frac{4 x^{2}}{\left(\left(x^{2} - 1\right)^{2} - 4\right) \operatorname{asin}{\left(\frac{x^{2} - 1}{2} \right)}} - \frac{x^{2} \left(x^{2} - 1\right)}{\left(1 - \frac{\left(1 - x^{2}\right)^{2}}{4}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{\sqrt{1 - \frac{\left(1 - x^{2}\right)^{2}}{4}}}}{4 \sqrt{- \operatorname{asin}{\left(\frac{x^{2} - 1}{2} \right)}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞asin⁡(1−x22)=∞i\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\operatorname{asin}{\left(\frac{1 - x^{2}}{2} \right)}} = \infty \sqrt{i}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=∞iy = \infty \sqrt{i}
lim⁡x→∞asin⁡(1−x22)=∞i\lim_{x \to \infty} \sqrt{\operatorname{asin}{\left(\frac{1 - x^{2}}{2} \right)}} = \infty \sqrt{i}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=∞iy = \infty \sqrt{i}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(asin((1 - x^2)/2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(asin⁡(1−x22)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\operatorname{asin}{\left(\frac{1 - x^{2}}{2} \right)}}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(asin⁡(1−x22)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\operatorname{asin}{\left(\frac{1 - x^{2}}{2} \right)}}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
asin⁡(1−x22)=asin⁡(1−x22)\sqrt{\operatorname{asin}{\left(\frac{1 - x^{2}}{2} \right)}} = \sqrt{\operatorname{asin}{\left(\frac{1 - x^{2}}{2} \right)}}
- Sí
asin⁡(1−x22)=−asin⁡(1−x22)\sqrt{\operatorname{asin}{\left(\frac{1 - x^{2}}{2} \right)}} = - \sqrt{\operatorname{asin}{\left(\frac{1 - x^{2}}{2} \right)}}
- No
es decir, función
es
par
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