Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arcsin((x+5)/(2-x))

Gráfico de la función y = arcsin((x+5)/(2-x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /x + 5\
f(x) = asin|-----|
           \2 - x/
f(x)=asin⁡(x+52−x)f{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x + 5}{2 - x} \right)} 
f = asin((x + 5)/(2 - x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=2x_{1} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
asin⁡(x+52−x)=0\operatorname{asin}{\left(\frac{x + 5}{2 - x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−5x_{1} = -5
Solución numérica
x1=−5x_{1} = -5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en asin((x + 5)/(2 - x)).
asin⁡(52−0)\operatorname{asin}{\left(\frac{5}{2 - 0} \right)}
Resultado:
f(0)=asin⁡(52)f{\left(0 \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{5}{2} \right)}
Punto:
(0, asin(5/2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
12−x+x+5(2−x)21−(x+5)2(2−x)2=0\frac{\frac{1}{2 - x} + \frac{x + 5}{\left(2 - x\right)^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{\left(x + 5\right)^{2}}{\left(2 - x\right)^{2}}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(1−x+5x−2)(2−(1−x+5x−2)(x+5)(1−(x+5)2(x−2)2)(x−2))1−(x+5)2(x−2)2(x−2)2=0\frac{\left(1 - \frac{x + 5}{x - 2}\right) \left(2 - \frac{\left(1 - \frac{x + 5}{x - 2}\right) \left(x + 5\right)}{\left(1 - \frac{\left(x + 5\right)^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) \left(x - 2\right)}\right)}{\sqrt{1 - \frac{\left(x + 5\right)^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}}} \left(x - 2\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−13x_{1} = - \frac{1}{3}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=2x_{1} = 2

lim⁡x→2−((1−x+5x−2)(2−(1−x+5x−2)(x+5)(1−(x+5)2(x−2)2)(x−2))1−(x+5)2(x−2)2(x−2)2)=−∞i\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{\left(1 - \frac{x + 5}{x - 2}\right) \left(2 - \frac{\left(1 - \frac{x + 5}{x - 2}\right) \left(x + 5\right)}{\left(1 - \frac{\left(x + 5\right)^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) \left(x - 2\right)}\right)}{\sqrt{1 - \frac{\left(x + 5\right)^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}}} \left(x - 2\right)^{2}}\right) = - \infty i
lim⁡x→2+((1−x+5x−2)(2−(1−x+5x−2)(x+5)(1−(x+5)2(x−2)2)(x−2))1−(x+5)2(x−2)2(x−2)2)=∞i\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\left(1 - \frac{x + 5}{x - 2}\right) \left(2 - \frac{\left(1 - \frac{x + 5}{x - 2}\right) \left(x + 5\right)}{\left(1 - \frac{\left(x + 5\right)^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) \left(x - 2\right)}\right)}{\sqrt{1 - \frac{\left(x + 5\right)^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}}} \left(x - 2\right)^{2}}\right) = \infty i
- los límites no son iguales, signo
x1=2x_{1} = 2
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=2x_{1} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞asin⁡(x+52−x)=−π2\lim_{x \to -\infty} \operatorname{asin}{\left(\frac{x + 5}{2 - x} \right)} = - \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−π2y = - \frac{\pi}{2}
lim⁡x→∞asin⁡(x+52−x)=−π2\lim_{x \to \infty} \operatorname{asin}{\left(\frac{x + 5}{2 - x} \right)} = - \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=−π2y = - \frac{\pi}{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función asin((x + 5)/(2 - x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(asin⁡(x+52−x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{x + 5}{2 - x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(asin⁡(x+52−x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{x + 5}{2 - x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
asin⁡(x+52−x)=asin⁡(5−xx+2)\operatorname{asin}{\left(\frac{x + 5}{2 - x} \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{5 - x}{x + 2} \right)}
- No
asin⁡(x+52−x)=−asin⁡(5−xx+2)\operatorname{asin}{\left(\frac{x + 5}{2 - x} \right)} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{5 - x}{x + 2} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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