Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{2 \left(\frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\left(2 x - 1\right)^{2}} - \frac{4}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(2 x - 1\right)}\right)}{2 x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -0.606897428369373$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0.5$$
$$\lim_{x \to 0.5^-}\left(\frac{2 \left(\frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\left(2 x - 1\right)^{2}} - \frac{4}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(2 x - 1\right)}\right)}{2 x - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0.5^+}\left(\frac{2 \left(\frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\left(2 x - 1\right)^{2}} - \frac{4}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(2 x - 1\right)}\right)}{2 x - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0.5$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -0.606897428369373\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-0.606897428369373, \infty\right)$$