Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arcsinx/(x-1/2)

Gráfico de la función y = arcsinx/(x-1/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       asin(x)
f(x) = -------
       x - 1/2
f(x)=asin⁡(x)x−12f{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{x - \frac{1}{2}} 
f = asin(x)/(x - 1/2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2525
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0.5x_{1} = 0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
asin⁡(x)x−12=0\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{x - \frac{1}{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en asin(x)/(x - 1/2).
asin⁡(0)−12\frac{\operatorname{asin}{\left(0 \right)}}{- \frac{1}{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−asin⁡(x)(x−12)2+11−x2(x−12)=0- \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{1}{2}\right)^{2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(x - \frac{1}{2}\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(x(1−x2)32+8asin⁡(x)(2x−1)2−41−x2(2x−1))2x−1=0\frac{2 \left(\frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\left(2 x - 1\right)^{2}} - \frac{4}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(2 x - 1\right)}\right)}{2 x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−0.606897428369373x_{1} = -0.606897428369373
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0.5x_{1} = 0.5

lim⁡x→0.5−(2(x(1−x2)32+8asin⁡(x)(2x−1)2−41−x2(2x−1))2x−1)=−∞\lim_{x \to 0.5^-}\left(\frac{2 \left(\frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\left(2 x - 1\right)^{2}} - \frac{4}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(2 x - 1\right)}\right)}{2 x - 1}\right) = -\infty
lim⁡x→0.5+(2(x(1−x2)32+8asin⁡(x)(2x−1)2−41−x2(2x−1))2x−1)=∞\lim_{x \to 0.5^+}\left(\frac{2 \left(\frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\left(2 x - 1\right)^{2}} - \frac{4}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(2 x - 1\right)}\right)}{2 x - 1}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0.5x_{1} = 0.5
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−0.606897428369373]\left(-\infty, -0.606897428369373\right]
Convexa en los intervalos
[−0.606897428369373,∞)\left[-0.606897428369373, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0.5x_{1} = 0.5
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(asin⁡(x)x−12)y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{x - \frac{1}{2}}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(asin⁡(x)x−12)y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{x - \frac{1}{2}}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función asin(x)/(x - 1/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(asin⁡(x)x(x−12))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{x \left(x - \frac{1}{2}\right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(asin⁡(x)x(x−12))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{x \left(x - \frac{1}{2}\right)}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
asin⁡(x)x−12=−asin⁡(x)−x−12\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{x - \frac{1}{2}} = - \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{- x - \frac{1}{2}}
- No
asin⁡(x)x−12=asin⁡(x)−x−12\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{x - \frac{1}{2}} = \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{- x - \frac{1}{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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