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Trazado el gráfico de la función/ arcsin(x)-4*x

Gráfico de la función y = arcsin(x)-4*x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = asin(x) - 4*x
f(x)=−4x+asin⁡(x)f{\left(x \right)} = - 4 x + \operatorname{asin}{\left(x \right)} 
f = -4*x + asin(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−4x+asin⁡(x)=0- 4 x + \operatorname{asin}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en asin(x) - 4*x.
asin⁡(0)−0\operatorname{asin}{\left(0 \right)} - 0
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−4+11−x2=0-4 + \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−154x_{1} = - \frac{\sqrt{15}}{4}
x2=154x_{2} = \frac{\sqrt{15}}{4}
Signos de extremos en los puntos:
    ____                /  ____\ 
 -\/ 15      ____       |\/ 15 | 
(--------, \/ 15  - asin|------|)
    4                   \  4   / 

   ____                 /  ____\ 
 \/ 15       ____       |\/ 15 | 
(------, - \/ 15  + asin|------|)
   4                    \  4   /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=154x_{1} = \frac{\sqrt{15}}{4}
Puntos máximos de la función:
x1=−154x_{1} = - \frac{\sqrt{15}}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,−154]∪[154,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{15}}{4}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{15}}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−154,154]\left[- \frac{\sqrt{15}}{4}, \frac{\sqrt{15}}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x(1−x2)32=0\frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
False

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
False

False

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
False
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función asin(x) - 4*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(−4x+asin⁡(x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 4 x + \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{x}\right)
lim⁡x→∞(−4x+asin⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 4 x + \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−4x+asin⁡(x)=4x−asin⁡(x)- 4 x + \operatorname{asin}{\left(x \right)} = 4 x - \operatorname{asin}{\left(x \right)}
- No
−4x+asin⁡(x)=−4x+asin⁡(x)- 4 x + \operatorname{asin}{\left(x \right)} = - 4 x + \operatorname{asin}{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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