Sr Examen

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√x-x^2
Trazado el gráfico de la función/ √x-x^2

Gráfico de la función y = √x-x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         ___    2
f(x) = \/ x  - x
f(x)=x−x2f{\left(x \right)} = \sqrt{x} - x^{2} 
f = sqrt(x) - x^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x−x2=0\sqrt{x} - x^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x) - x^2.
0−02\sqrt{0} - 0^{2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x+12x=0- 2 x + \frac{1}{2 \sqrt{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2234x_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4}
Signos de extremos en los puntos:
  2/3    3 ___ 
 2     3*\/ 2  
(----, -------)
  4       8


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=2234x_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,2234]\left(-\infty, \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4}\right]
Crece en los intervalos
[2234,∞)\left[\frac{2^{\frac{2}{3}}}{4}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(2+14x32)=0- (2 + \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x−x2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x} - x^{2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x−x2)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} - x^{2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x) - x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x−x2x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x} - x^{2}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(x−x2x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} - x^{2}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x−x2=−x2+−x\sqrt{x} - x^{2} = - x^{2} + \sqrt{- x}
- No
x−x2=x2−−x\sqrt{x} - x^{2} = x^{2} - \sqrt{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = √x-x^2
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