Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^2+x+1
-
x^2+1/x
-
(x-1)/(x+2)
-
x^2/(x^3+1)
-
Expresiones idénticas
- x/(x^ dos - uno)+ dos /(x- uno)
- x dividir por (x al cuadrado menos 1) más 2 dividir por (x menos 1)
- x dividir por (x en el grado dos menos uno) más dos dividir por (x menos uno)
- x/(x2-1)+2/(x-1)
- x/x2-1+2/x-1
- x/(x²-1)+2/(x-1)
- x/(x en el grado 2-1)+2/(x-1)
- x/x^2-1+2/x-1
- x dividir por (x^2-1)+2 dividir por (x-1)
-
Expresiones semejantes
- x/(x^2-1)-2/(x-1)
- x/(x^2-1)+2/(x+1)
- x/(x^2+1)+2/(x-1)
Gráfico de la función y = x/(x^2-1)+2/(x-1)
Solución
Ha introducido
[src]
x 2
f(x) = ------ + -----
2 x - 1
x - 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x - 1}$$
f = x/(x^2 - 1) + 2/(x - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.666666666666667$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.666666666666667$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1} - \frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1} - \frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(\frac{4 x^{3}}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} - \frac{3 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{3}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{2}{3} - \frac{\sqrt[3]{5}}{3} + \frac{5^{\frac{2}{3}}}{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(2 \left(\frac{4 x^{3}}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} - \frac{3 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{3}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(2 \left(\frac{4 x^{3}}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} - \frac{3 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{3}}\right)\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(2 \left(\frac{4 x^{3}}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} - \frac{3 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{3}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(2 \left(\frac{4 x^{3}}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} - \frac{3 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{3}}\right)\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2}{3} - \frac{\sqrt[3]{5}}{3} + \frac{5^{\frac{2}{3}}}{3}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{2}{3} - \frac{\sqrt[3]{5}}{3} + \frac{5^{\frac{2}{3}}}{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(\frac{4 x^{3}}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} - \frac{3 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{3}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{2}{3} - \frac{\sqrt[3]{5}}{3} + \frac{5^{\frac{2}{3}}}{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(2 \left(\frac{4 x^{3}}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} - \frac{3 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{3}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(2 \left(\frac{4 x^{3}}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} - \frac{3 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{3}}\right)\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(2 \left(\frac{4 x^{3}}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} - \frac{3 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{3}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(2 \left(\frac{4 x^{3}}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} - \frac{3 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{3}}\right)\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2}{3} - \frac{\sqrt[3]{5}}{3} + \frac{5^{\frac{2}{3}}}{3}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{2}{3} - \frac{\sqrt[3]{5}}{3} + \frac{5^{\frac{2}{3}}}{3}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/(x^2 - 1) + 2/(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x - 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x - 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x - 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x - 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x - 1} = - \frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{2}{- x - 1}$$
- No
$$\frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x - 1} = \frac{x}{x^{2} - 1} - \frac{2}{- x - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x - 1} = - \frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{2}{- x - 1}$$
- No
$$\frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x - 1} = \frac{x}{x^{2} - 1} - \frac{2}{- x - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico