Sr Examen

Otras calculadoras

x/(x^2-1)+2/(x-1)

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • 5-x 5-x
  • (1-x^3)/x^2 (1-x^3)/x^2
  • x/(x^2-5) x/(x^2-5)
  • 3*x-x^3 3*x-x^3

  • Expresiones idénticas

  • x/(x^ dos - uno)+ dos /(x- uno)
  • x dividir por (x al cuadrado menos 1) más 2 dividir por (x menos 1)
  • x dividir por (x en el grado dos menos uno) más dos dividir por (x menos uno)
  • x/(x2-1)+2/(x-1)
  • x/x2-1+2/x-1
  • x/(x²-1)+2/(x-1)
  • x/(x en el grado 2-1)+2/(x-1)
  • x/x^2-1+2/x-1
  • x dividir por (x^2-1)+2 dividir por (x-1)

  • Expresiones semejantes

  • x/(x^2-1)+2/(x+1)
  • x/(x^2-1)-2/(x-1)
  • x/(x^2+1)+2/(x-1)
Trazado el gráfico de la función/ x/(x^2-1)+2/(x-1)

Gráfico de la función y = x/(x^2-1)+2/(x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         x        2  
f(x) = ------ + -----
        2       x - 1
       x  - 1
f(x)=xx2−1+2x−1f{\left(x \right)} = \frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x - 1} 
f = x/(x^2 - 1) + 2/(x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xx2−1+2x−1=0\frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−23x_{1} = - \frac{2}{3}
Solución numérica
x1=−0.666666666666667x_{1} = -0.666666666666667
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x/(x^2 - 1) + 2/(x - 1).
2−1+0−1+02\frac{2}{-1} + \frac{0}{-1 + 0^{2}}
Resultado:
f(0)=−2f{\left(0 \right)} = -2
Punto:
(0, -2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x2(x2−1)2+1x2−1−2(x−1)2=0- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1} - \frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(4x3(x2−1)3−3x(x2−1)2+2(x−1)3)=02 \left(\frac{4 x^{3}}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} - \frac{3 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{3}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−23−533+5233x_{1} = - \frac{2}{3} - \frac{\sqrt[3]{5}}{3} + \frac{5^{\frac{2}{3}}}{3}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1

lim⁡x→−1−(2(4x3(x2−1)3−3x(x2−1)2+2(x−1)3))=−∞\lim_{x \to -1^-}\left(2 \left(\frac{4 x^{3}}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} - \frac{3 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{3}}\right)\right) = -\infty
lim⁡x→−1+(2(4x3(x2−1)3−3x(x2−1)2+2(x−1)3))=∞\lim_{x \to -1^+}\left(2 \left(\frac{4 x^{3}}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} - \frac{3 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{3}}\right)\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−1x_{1} = -1
- es el punto de flexión
lim⁡x→1−(2(4x3(x2−1)3−3x(x2−1)2+2(x−1)3))=−∞\lim_{x \to 1^-}\left(2 \left(\frac{4 x^{3}}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} - \frac{3 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{3}}\right)\right) = -\infty
lim⁡x→1+(2(4x3(x2−1)3−3x(x2−1)2+2(x−1)3))=∞\lim_{x \to 1^+}\left(2 \left(\frac{4 x^{3}}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} - \frac{3 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{3}}\right)\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=1x_{2} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−23−533+5233]\left(-\infty, - \frac{2}{3} - \frac{\sqrt[3]{5}}{3} + \frac{5^{\frac{2}{3}}}{3}\right]
Convexa en los intervalos
[−23−533+5233,∞)\left[- \frac{2}{3} - \frac{\sqrt[3]{5}}{3} + \frac{5^{\frac{2}{3}}}{3}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xx2−1+2x−1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x - 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(xx2−1+2x−1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x - 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/(x^2 - 1) + 2/(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(xx2−1+2x−1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x - 1}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(xx2−1+2x−1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x - 1}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xx2−1+2x−1=−xx2−1+2−x−1\frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x - 1} = - \frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{2}{- x - 1}
- No
xx2−1+2x−1=xx2−1−2−x−1\frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x - 1} = \frac{x}{x^{2} - 1} - \frac{2}{- x - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x/(x^2-1)+2/(x-1)
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