Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ log((2*x^3)+(3*x)-(7))

Gráfico de la función y = log((2*x^3)+(3*x)-(7))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /   3          \
f(x) = log\2*x  + 3*x - 7/
f(x)=log⁡((2x3+3x)−7)f{\left(x \right)} = \log{\left(\left(2 x^{3} + 3 x\right) - 7 \right)} 
f = log(2*x^3 + 3*x - 7)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡((2x3+3x)−7)=0\log{\left(\left(2 x^{3} + 3 x\right) - 7 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=23(−23+(8+66)23)28+663x_{1} = \frac{\sqrt[3]{2} \left(- \sqrt[3]{2} + \left(8 + \sqrt{66}\right)^{\frac{2}{3}}\right)}{2 \sqrt[3]{8 + \sqrt{66}}}
Solución numérica
x1=1.27732206029086x_{1} = 1.27732206029086
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(2*x^3 + 3*x - 7).
log⁡(−7+(2⋅03+0⋅3))\log{\left(-7 + \left(2 \cdot 0^{3} + 0 \cdot 3\right) \right)}
Resultado:
f(0)=log⁡(7)+iπf{\left(0 \right)} = \log{\left(7 \right)} + i \pi
Punto:
(0, pi*i + log(7))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
6x2+3(2x3+3x)−7=0\frac{6 x^{2} + 3}{\left(2 x^{3} + 3 x\right) - 7} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3(4x−3(2x2+1)22x3+3x−7)2x3+3x−7=0\frac{3 \left(4 x - \frac{3 \left(2 x^{2} + 1\right)^{2}}{2 x^{3} + 3 x - 7}\right)}{2 x^{3} + 3 x - 7} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−12239716+49163+2239716+491632−−2239716+49163−12239716+49163+1412239716+49163+2239716+491632x_{1} = - \frac{\sqrt{\frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}}}{2} - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}} - \frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + \frac{14}{\sqrt{\frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}}}}}{2}
x2=−12239716+49163+2239716+491632+−2239716+49163−12239716+49163+1412239716+49163+2239716+491632x_{2} = - \frac{\sqrt{\frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}} - \frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + \frac{14}{\sqrt{\frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}}}}}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−12239716+49163+2239716+491632−−2239716+49163−12239716+49163+1412239716+49163+2239716+491632,−12239716+49163+2239716+491632+−2239716+49163−12239716+49163+1412239716+49163+2239716+491632]\left[- \frac{\sqrt{\frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}}}{2} - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}} - \frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + \frac{14}{\sqrt{\frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}}}}}{2}, - \frac{\sqrt{\frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}} - \frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + \frac{14}{\sqrt{\frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}}}}}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−12239716+49163+2239716+491632−−2239716+49163−12239716+49163+1412239716+49163+2239716+491632]∪[−12239716+49163+2239716+491632+−2239716+49163−12239716+49163+1412239716+49163+2239716+491632,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{\frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}}}{2} - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}} - \frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + \frac{14}{\sqrt{\frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}}}}}{2}\right] \cup \left[- \frac{\sqrt{\frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}} - \frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + \frac{14}{\sqrt{\frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}}}}}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡((2x3+3x)−7)=∞\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\left(2 x^{3} + 3 x\right) - 7 \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞log⁡((2x3+3x)−7)=∞\lim_{x \to \infty} \log{\left(\left(2 x^{3} + 3 x\right) - 7 \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(2*x^3 + 3*x - 7), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡((2x3+3x)−7)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\left(2 x^{3} + 3 x\right) - 7 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡((2x3+3x)−7)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\left(2 x^{3} + 3 x\right) - 7 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡((2x3+3x)−7)=log⁡(−2x3−3x−7)\log{\left(\left(2 x^{3} + 3 x\right) - 7 \right)} = \log{\left(- 2 x^{3} - 3 x - 7 \right)}
- No
log⁡((2x3+3x)−7)=−log⁡(−2x3−3x−7)\log{\left(\left(2 x^{3} + 3 x\right) - 7 \right)} = - \log{\left(- 2 x^{3} - 3 x - 7 \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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