Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{3 \left(4 x - \frac{3 \left(2 x^{2} + 1\right)^{2}}{2 x^{3} + 3 x - 7}\right)}{2 x^{3} + 3 x - 7} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{\frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}}}{2} - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}} - \frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + \frac{14}{\sqrt{\frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}}}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{\frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}} - \frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + \frac{14}{\sqrt{\frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}}}}}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{\frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}}}{2} - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}} - \frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + \frac{14}{\sqrt{\frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}}}}}{2}, - \frac{\sqrt{\frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}} - \frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + \frac{14}{\sqrt{\frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}}}}}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{\frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}}}{2} - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}} - \frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + \frac{14}{\sqrt{\frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}}}}}{2}\right] \cup \left[- \frac{\sqrt{\frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}} - \frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + \frac{14}{\sqrt{\frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2397}}{16} + \frac{49}{16}}}}}}{2}, \infty\right)$$