Sr Examen

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Gráfico de la función y = sqrt((x-2)^2)^3-sqrt((x-3)^2)^3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
                    3                3
          __________       __________ 
         /        2       /        2  
f(x) = \/  (x - 2)    - \/  (x - 3)   
$$f{\left(x \right)} = - \left(\sqrt{\left(x - 3\right)^{2}}\right)^{3} + \left(\sqrt{\left(x - 2\right)^{2}}\right)^{3}$$
f = -(sqrt((x - 3)^2))^3 + (sqrt((x - 2)^2))^3
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \left(\sqrt{\left(x - 3\right)^{2}}\right)^{3} + \left(\sqrt{\left(x - 2\right)^{2}}\right)^{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2.5$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (sqrt((x - 2)^2))^3 - (sqrt((x - 3)^2))^3.
$$- \left(\sqrt{\left(-3\right)^{2}}\right)^{3} + \left(\sqrt{\left(-2\right)^{2}}\right)^{3}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -19$$
Punto:
(0, -19)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{3 \left(x - 2\right)^{2} \left|{x - 2}\right| \left(x - 2\right)}{\left(x - 2\right)^{2}} - 3 \left(x - 3\right) \left|{x - 3}\right| = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$3 \left(- \left(x - 3\right) \operatorname{sign}{\left(x - 3 \right)} + \left(x - 2\right) \operatorname{sign}{\left(x - 2 \right)} - \left|{x - 3}\right| + \left|{x - 2}\right|\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2.5$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2.5, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 2.5\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \left(\sqrt{\left(x - 3\right)^{2}}\right)^{3} + \left(\sqrt{\left(x - 2\right)^{2}}\right)^{3}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \left(\sqrt{\left(x - 3\right)^{2}}\right)^{3} + \left(\sqrt{\left(x - 2\right)^{2}}\right)^{3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (sqrt((x - 2)^2))^3 - (sqrt((x - 3)^2))^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{\left(x - 3\right)^{2}}\right)^{3} + \left(\sqrt{\left(x - 2\right)^{2}}\right)^{3}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{\left(x - 3\right)^{2}}\right)^{3} + \left(\sqrt{\left(x - 2\right)^{2}}\right)^{3}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- \left(\sqrt{\left(x - 3\right)^{2}}\right)^{3} + \left(\sqrt{\left(x - 2\right)^{2}}\right)^{3} = \left(x + 2\right)^{2} \left|{x + 2}\right| - \left(x + 3\right)^{2} \left|{x + 3}\right|$$
- No
$$- \left(\sqrt{\left(x - 3\right)^{2}}\right)^{3} + \left(\sqrt{\left(x - 2\right)^{2}}\right)^{3} = - \left(x + 2\right)^{2} \left|{x + 2}\right| + \left(x + 3\right)^{2} \left|{x + 3}\right|$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar