Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x^2*(-12)-51*x-45)/(x-1)

Gráfico de la función y = (x^2*(-12)-51*x-45)/(x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2                  
       x *(-12) - 51*x - 45
f(x) = --------------------
              x - 1
f(x)=((−12)x2−51x)−45x−1f{\left(x \right)} = \frac{\left(\left(-12\right) x^{2} - 51 x\right) - 45}{x - 1} 
f = ((-12)*x^2 - 51*x - 45)/(x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-50005000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
((−12)x2−51x)−45x−1=0\frac{\left(\left(-12\right) x^{2} - 51 x\right) - 45}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3x_{1} = -3
x2=−54x_{2} = - \frac{5}{4}
Solución numérica
x1=−3x_{1} = -3
x2=−1.25x_{2} = -1.25
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2*(-12) - 51*x - 45)/(x - 1).
−45+((−12)02−0)−1\frac{-45 + \left(\left(-12\right) 0^{2} - 0\right)}{-1}
Resultado:
f(0)=45f{\left(0 \right)} = 45
Punto:
(0, 45)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−24x−51x−1−((−12)x2−51x)−45(x−1)2=0\frac{- 24 x - 51}{x - 1} - \frac{\left(\left(-12\right) x^{2} - 51 x\right) - 45}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2
x2=4x_{2} = 4
Signos de extremos en los puntos:
(-2, -3)

(4, -147)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2x_{1} = -2
Puntos máximos de la función:
x1=4x_{1} = 4
Decrece en los intervalos
[−2,4]\left[-2, 4\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−2]∪[4,∞)\left(-\infty, -2\right] \cup \left[4, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(−4+8x+17x−1−4x2+17x+15(x−1)2)x−1=0\frac{6 \left(-4 + \frac{8 x + 17}{x - 1} - \frac{4 x^{2} + 17 x + 15}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(((−12)x2−51x)−45x−1)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(-12\right) x^{2} - 51 x\right) - 45}{x - 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(((−12)x2−51x)−45x−1)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(-12\right) x^{2} - 51 x\right) - 45}{x - 1}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2*(-12) - 51*x - 45)/(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(((−12)x2−51x)−45x(x−1))=−12\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(-12\right) x^{2} - 51 x\right) - 45}{x \left(x - 1\right)}\right) = -12
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−12xy = - 12 x
lim⁡x→∞(((−12)x2−51x)−45x(x−1))=−12\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(-12\right) x^{2} - 51 x\right) - 45}{x \left(x - 1\right)}\right) = -12
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−12xy = - 12 x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
((−12)x2−51x)−45x−1=(−12)x2+51x−45−x−1\frac{\left(\left(-12\right) x^{2} - 51 x\right) - 45}{x - 1} = \frac{\left(-12\right) x^{2} + 51 x - 45}{- x - 1}
- No
((−12)x2−51x)−45x−1=−(−12)x2+51x−45−x−1\frac{\left(\left(-12\right) x^{2} - 51 x\right) - 45}{x - 1} = - \frac{\left(-12\right) x^{2} + 51 x - 45}{- x - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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